物理学中的群论

第一章　线性代数复习 1

1.1　线性空间和矢量基 1

1.2　线性变换和线性算符 3

1.3　相似变换 7

1.4　本征矢量和矩阵对角化 9

1.5　矢量内积 11

1.6　矩阵的直接乘积 13

习题 15

第二章　群的基本概念 17

2.1　对称 17

2.2　群及其乘法表 18

2.3　群的各种子集 26

2.4　群的同态关系 31

2.5　正多面体的固有对称变换群 32

2.6　群的直接乘积和非固有点群 42

习题 44

第三章　群的线性表示理论 46

3.1　群的线性表示 46

3.2　标量函数的变换算符 50

3.3　等价表示和表示的幺正性 55

3.4　有限群的不等价不可约表示 57

3.5　分导表示和诱导表示 69

3.6　物理应用 75

3.7　有限群群代数的不可约基 85

习题 95

第四章　三维转动群 98

4.1　三维空间转动变换 98

4.2　李群的基本概念 102

4.3　三维转动群的覆盖群 108

4.4　SU（2）群的不等价不可约表示 115

4.5　李氏定理 126

4.6　克莱布施－戈登系数 136

4.7　张量和旋量 145

4.8　不可约张量算符及其矩阵元 153

习题 161

第五章　晶体的对称性 164

5.1 晶体的对称变换群 164

5.2　晶格点群 166

5.3　晶系和布拉菲格子 172

5.4　空间群 183

5.5　空间群的线性表示 193

习题 202

第六章　置换群 203

6.1　置换群的一般性质 203

6.2　群代数的理想和幂等元 209

6.3　杨图、杨表和杨算符 216

6.4　置换群的不可约表示 225

6.5　不可约表示的实正交形式 237

6.6　置换群不可约表示的外积 243

习题 247

第七章　李群和李代数 249

7.1　李代数和结构常数 249

7.2　半单李代数的正则形式 255

7.3　单纯李代数的分类 262

7.4　几类典型的单纯李群 269

7.5　单纯李代数的线性表示 280

7.6　方块权图方法 289

7.7　克莱布施－戈登系数 307

习题 316

第八章　SU（N）群 318

8.1　SU（N）群的不可约表示 318

8.2　正交归一的不可约张量基 332

8.3　张量表示的直乘分解 337

8.4　SU（3）对称性和强子波函数 346

习题 360

第九章　SO（N）群 362

9.1　SO（N）群的张量表示 362

9.2　N维空间角动量及其本征函数 378

9.3　O（N）群的张量表示 383

9.4　Г矩阵群 385

9.5　SO（N）群的旋量表示 391

9.6　SO（4）群和洛伦兹群 401

习题 415

第十章　辛群 416

10.1　实辛群和酉辛群的一般性质 416

10.2　辛群的张量表示 418

10.3　正交归一的不可约张量基的计算 421

10.4　辛群不可约表示维数的计算 423

10.5　简单的物理应用 425

习题 426

附录 427

附录1 几种常用的矩阵 427

附录2 点群分解为循环子群的乘积 429

附录3 第三章定理一的证明 430

附录4 点群的克莱布施－戈登系数 432

附录5 O群群空间的不可约基 438

附录6 I群群空间的不可约基 445

附录7 SO（3）群和SU（2）群的同态关系 452

附录8 采用欧拉角参数时的群上积分元 453

附录9 三维转动群的表示矩阵dj（β） 454

附录10　球谐多项式 455

附录11　量子力学中角动量矩阵形式的计算 456

附录12　李代数的理想和李群的不变子李群 457

附录13　SU（2）群的克莱布施－戈登系数 458

附录14　拉卡系数的计算 465

附录15　协变张量和逆变张量 470

附录16　J2,J3,S2和？·？的共同本征函数 471

附录17　简单空间群的性质 473

附录18　230种空间群 475

附录19　立特武德－理查森规则的应用举例 478

附录20　辫子群 483

附录21　第七章定理一的解释 492

附录22　半单李代数的卡西米尔算子 493

附录23　半单李代数的紧致实形 494

附录24　SU（3）群的李代数 498

附录25　用嘉当矩阵计算单纯李代数的全部正根 500

附录26　SU（N）群自身表示生成元的反对易关系 501

附录27　实赝正交矩阵的行列式 502

附录28　辛群独立实参数的数目 503

附录29　单纯李代数的重要性质 504

附录30　克莱布施－戈登系数的对称性质 514

附录31　SU（3）群两伴随表示直乘的克莱布施－戈登系数 516

附录32　盖尔范德基 524

附录33　SU（N）群协变和逆变张量基的互相转化 526

附录34　SU（3）群不可约表示的具体形式 528

附录35　SU（NM）群的分导表示 532

附录36　SU（N+M）群的分导表示 535

附录37　SU（N）群三阶卡西米尔不变量 538

附录38　雅可比坐标 542

附录39　高维空间狄拉克方程的径向方程 545

附录40　李群的指数映照 550

参考文献 551

人名对照表 555

索引 557