微分几何 第3版

第一章 曲线论 1

§1 向量函数 1

1.1 向量函数的极限 1

1.2 向量函数的连续性 4

1.3 向量函数的微商 5

1.4 向量函数的泰勒（Taylor）公式 7

1.5 向量函数的积分 8

§2 曲线的概念 13

2.1 曲线的概念 13

2.2 光滑曲线 曲线的正常点 16

2.3 曲线的切线和法面 18

2.4 曲线的弧长 自然参数 22

§3 空间曲线 29

3.1 空间曲线的密切平面 29

3.2 空间曲线的基本三棱形 32

3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内（Frenet）公式 36

3.4 空间曲线在一点邻近的结构 44

3.5 空间曲线论的基本定理 47

3.6 一般螺线 51

第二章 曲面论 56

§1 曲面的概念 56

1.1 简单曲面及其参数表示 56

1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线 59

1.3 曲面上的曲线族和曲线网 65

§2 曲面的第一基本形式 68

2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 68

2.2 曲面上两方向的交角 71

2.3 正交曲线族和正交轨线 72

2.4 曲面域的面积 73

2.5 等距变换 75

2.6 保角变换 78

§3 曲面的第二基本形式 81

3.1 曲面的第二基本形式 81

3.2 曲面上曲线的曲率 87

3.3 杜邦（Dupin）指标线 91

3.4 曲面的渐近方向和共轭方向 93

3.5 曲面的主方向和曲率线 95

3.6 曲面的主曲率、高斯（Gauss）曲率和平均曲率 99

3.7 曲面在一点邻近的结构 105

3.8 高斯曲率的几何意义 109

§4 直纹面和可展曲面 115

4.1 直纹面 115

4.2 可展曲面 120

§5 曲面论的基本定理 130

5.1 曲面的基本方程和克里斯托费尔（Christoffel）符号 131

5.2 曲面的黎曼（Riemann）曲率张量和高斯-科达齐-迈因纳尔迪（Gauss-Codazzi-Mainardi）公式 134

5.3 曲面论的基本定理 139

§6 曲面上的测地线 145

6.1 曲面上曲线的测地曲率 145

6.2 曲面上的测地线 148

6.3 曲面上的半测地坐标网 151

6.4 曲面上测地线的短程性 154

6.5 高斯-波涅（Gauss-Bonnet）公式 157

6.6 曲面上向量的平行移动 160

6.7 极小曲面 166

§7 常高斯曲率的曲面 171

7.1 常高斯曲率的曲面 171

7.2 伪球面 173

7.3 罗氏几何 178

第三章 外微分形式和活动标架 183

§1 外微分形式 183

1.1 格拉斯曼（Grassmann）代数 183

1.2 外微分形式 188

1.3 弗罗贝尼乌斯（Frobenius）定理 198

§2 活动标架 213

2.1 合同变换群 213

2.2 活动标架 215

2.3 活动标架法 225

§3 用活动标架法研究曲面 227

3.1 曲面论的基本定理 227

3.2 曲面的第一和第二基本形式 229

3.3 曲面上的曲线 法曲率 测地曲率和测地挠率 230

3.4 曲面的主曲率 欧拉公式 高斯曲率和平均曲率 233

3.5 曲面上向量的平行移动 234

3.6 闭曲面的高斯-波涅公式 237

第四章 整体微分几何初步 242

§1 平面曲线的整体性质 242

1.1 旋转数 243

1.2 凸曲线 250

1.3 等周不等式 255

1.4 四顶点定理 258

1.5 等宽曲线 260

1.6 平面上的Crofton公式 262

§2 空间曲线的整体性质 267

2.1 Fenchel定理 267

2.2 球面上的Crofton公式 274

2.3 Fary-Milnor定理 277

2.4 闭曲线的全挠率 281

§3 曲面的整体性质 285

3.1 曲面的整体定义 285

3.2 曲面的一般性质 290

3.3 卵形面 294

3.4 完备曲面 313

§4 紧致曲面的高斯-波涅公式和欧拉示性数 322

4.1 紧致曲面的三角剖分 322

4.2 紧致曲面的欧拉示性数 324

4.3 紧致定向曲面的亏格（gerus） 324

4.4 紧致曲面的高斯-波涅公式 326

4.5 紧致曲面上的向量场 327

名词索引 333