高等数学基础

第1章　函数及其图形 1

1.1 函数的概念与特性 1

1.1.1　集合与区间 1

1.1.2　函数 3

1.1.3　函数的几种简单性态 6

1.2　初等函数与建立函数关系式 10

1.2.1　初等函数 10

1.2.2　建立函数关系式举例 14

第2章　函数的极限与连续 17

2.1　函数的极限 17

2.1.1　数列的极限 17

2.1.2　函数的极限 18

2.2　无穷小量与无穷大量 21

2.2.1　无穷小量 21

2.2.2　无穷大量 23

2.2.3　无穷大量与无穷小量的关系 24

2.3　极限的运算法则 24

2.3.1　极限的性质 24

2.3.2　极限的运算法则 25

2.4　两个重要的极限 28

2.4.1　判定极限存在的两个准则 28

2.4.2　两个重要极限公式 28

2.5　函数的连续性 31

2.5.1　函数连续的概念 32

2.5.2　初等函数的连续性 33

2.5.3　函数的间断点 34

2.5.4　闭区间上连续函数的性质 36

复习题2 37

3.1　导数的概念 38

3.1.1　两个引例 38

第3章　导数与微分 38

3.1.2　导数的概念 39

3.1.3　求导举例 40

3.1.4　导数的几何意义 42

3.1.5　可导与连续的关系 42

3.2　函数的求导法则 44

3.2.1　函数和、差、积、商的求导法则 44

3.2.2　复合函数的求导法则 45

3.2.3　反函数的求导法则 47

3.2.4　初等函数的求导公式 47

3.3　隐函数及参数方程所确定的函数求导法 49

3.3.1　隐函数求导法 49

3.3.2　取对数求导法 50

3.3.3　由参数方程所确定的函数求导法 50

3.4　高阶导数 51

3.5.1　微分的概念 53

3.5　函数的微分 53

3.5.2　微分的运算法则 55

3.5.3　微分在近似计算中的应用 56

复习题3 58

第4章　导数的应用 60

4.1　微分中值定理 60

4.1.1　罗尔（Rolle）中值定理 60

4.1.2　拉格朗日（Lagrange）中值定理 61

4.2　洛必达法则 63

4.2.1　？型不定式极限 63

4.2.2　？型不定式极限 64

4.2.3　其他类型的不定式极限 65

4.3　函数的单调性与极值 67

4.3.1　函数的单调性 67

4.3.2　函数的极值 68

4.3.3　函数的最值 70

4.4　曲线的凹凸性与拐点 71

4.5　函数图像的描绘 72

4.5.1　曲线的渐近线 73

4.5.2　函数作图 73

4.6　曲率 74

4.6.1　曲率的概念 74

4.6.2　曲率的计算 75

复习题4 76

第5章　不定积分 78

5.1　不定积分的概念与性质 78

5.1.1　原函数与不定积分的概念 78

5.1.2　不定积分的性质 80

5.1.3　基本积分公式表 81

5.1.4　不定积分的两个基本运算法则 81

5.1.5　直接积分法 82

5.2.1　第一类换元积分法（凑微分法） 85

5.2　换元积分法 85

5.2.2　第二类换元积分法 88

5.3　分部积分法 92

复习题5 97

第6章　定积分及其应用 100

6.1　定积分的概念 100

6.1.1　3个引例 100

6.1.2　定积分的定义 102

6.1.3　定积分的几何意义 103

6.2　定积分的性质 105

6.3　微积分基本公式 109

6.3.1　变上限的积分函数及其性质 109

6.3.2　微积分基本公式 111

6.4　定积分的积分法 113

6.4.1　定积分的换元积分法 114

6.4.2　定积分的分部积分法 116

6.5.1　无穷区间上的广义积分 119

6.5　广义积分 119

6.5.2　无界函数的广义积分 121

6.6　定积分的应用 122

6.6.1　微元分析法 123

6.6.2　定积分在几何上的应用 124

6.6.3　定积分在物理学中的简单应用 129

复习题6 132

第7章　常微分方程 135

7.1　微分方程的基本概念 135

7.2　一阶微分方程及其解法 137

7.2.1 可分离变量方程 138

7.2.2　一阶线性微分方程 139

7.3　可降阶的高阶微分方程 142

7.4　二阶线性微分方程解的结构 144

7.4.2　二阶线性非齐次微分方程解的结构 145

7.4.1 线性齐次方程解的结构 145

7.5　二阶常系数齐次线性方程的解法 146

7.6　二阶常系数非齐次线性方程的解法 148

复习题7 151

第8章　向量与空间解析几何 152

8.1　向量及其线性运算 152

8.1.1　向量概念 152

8.1.2　向量的线性运算 153

8.1.3　空间直角坐标系 156

8.1.4　利用坐标作向量的线性运算 157

8.1.5　向量的模、方向角、投影 158

8.2　数量积　向量积 161

8.2.1　两向量的数量积 161

8.2.2　两向量的向量积 164

8.3　平面方程与直线方程 167

8.3.1　平面方程 167

8.3.2　直线方程 170

8.3.3　两直线的夹角 172

8.3.4　直线与平面的夹角 172

8.4　曲面及其方程 174

8.4.1　曲面方程的概念 174

8.4.2　旋转曲面 175

8.4.3　柱面 177

8.4.4　二次曲面 178

8.5　空间曲线及其方程 181

8.5.1 空间曲线的一般方程 181

8.5.2 空间曲线的参数方程 182

8.5.3 空间曲线在坐标面上的投影 182

复习题8 184

第9章　多元函数微分学 186

9.1　多元函数的极限与连续性 186

9.1.1　多元函数 186

9.1.2　二元函数的极限 188

9.1.3　二元函数的连续性 189

9.2　偏导数 190

9.2.1　二元函数的偏导数 190

9.2.2　高阶偏导数 191

9.3　全微分 193

9.3.1　全微分的定义 193

9.3.2　全微分在近似计算中的应用 194

9.4　复合函数与隐函数的微分法 195

9.4.1　复合函数的微分法 195

9.4.2　隐函数的微分法 197

9.4.3　偏导数的几何应用 198

9.5　多元函数的极值 201

9.5.1　多元函数的极值 201

9.5.2　多元函数的最值 203

9.5.3　条件极值 204

复习题9 205

10.1　二重积分的概念与性质 207

10.1.1　两个实例 207

第10章　多元函数积分学 207

10.1.2　二重积分的定义 208

10.1.3　二重积分的几何意义 209

10.1.4　二重积分的性质 209

10.2　二重积分的计算 210

10.2.1　二重积分在直角坐标系下的计算 210

10.2.2　二重积分在极坐标系下的计算 215

10.3　二重积分的应用 219

10.3.1　二重积分在几何上的应用 219

10.3.2　二重积分在物理上的应用 221

复习题10 224

11.1　数项级数 226

11.1.1　数项级数的基本概念 226

第11章　无穷级数 226

11.1.2　数项级数的基本性质 228

11.2　数项级数的敛散性 230

11.2.1　正项级数及其审敛法 230

11.2.2　交错级数及其审敛法 232

11.2.3　绝对收敛与条件收敛 233

11.3　幂级数 235

11.3.1　函数项级数的概念 235

11.3.2　幂级数及其收敛性 235

11.3.3　幂级数的性质 237

11.4　函数展成幂级数 239

11.4.1　泰勒公式与泰勒级数 239

11.4.2　函数展开成幂级数 240

11.4.3　函数幂级数展开式的应用 242

复习题11 243

12.1.1　二阶、三阶行列式 245

第12章　线性代数概论 245

12.1　二阶、三阶行列式 245

12.1.2　行列式的性质 247

12.2　n阶行列式 249

12.2.1　行列式的展开 249

12.2.2　n阶行列式 249

12.2.3　行列式的计算 251

12.3　克莱姆法则 253

12.4　矩阵的概念及运算 256

12.4.1　矩阵的概念 256

12.4.2　矩阵的运算 258

12.5　逆矩阵 264

12.5.1　方阵的行列式 264

12.5.2　逆矩阵 264

12.6.1　矩阵的秩 267

12.6　矩阵的秩与初等变换 267

12.6.2　矩阵的初等变换 269

12.6.3　用初等变换求矩阵的秩 269

12.6.4　用初等变换求逆矩阵 270

12.7　线性方程组的矩阵求解 272

12.7.1　线性方程组的消元解法 272

12.7.2　线性方程组解的结构 276

复习题12 281

第13章　概率统计初步 285

13.1　随机事件与概率 285

13.1.1　随机事件 285

13.1.2　随机事件的概率 288

13.2　概率的性质及运算法则 291

13.2.1　随机事件概率的性质 291

13.2.2　条件概率与乘法公式 293

13.3.1　事件的独立性 294

13.3　事件的独立性 294

13.3.2　n次独立重复试验 296

13.4　随机变量及其分布 298

13.4.1　随机变量 298

13.4.2　随机变量的分布函数 300

13.4.3　几种常见离散型随机变量的分布 302

13.4.4　几种常见连续型随机变量的分布 302

13.5　随机变量的数字特征 307

13.5.1　数学期望 307

13.5.2　方差与标准差 309

13.5.3　常用分布的期望和方差 311

13.5.4　用正态分布来近似二项分布 312

13.6　数理统计方法简介 313

13.6.1　总体和样本 313

13.6.2　数据的整理 314

13.6.3　几个常用统计量的分布 315

第14章　拉普拉斯变换 319

14.1　拉普拉斯变换的概念和性质 319

14.1.1　拉普拉斯变换的概念 319

14.1.2　拉氏变换的性质 320

14.2　拉普拉斯逆变换 325

14.2.1　拉氏逆变换的求法 325

14.2.2　单位脉冲函数及其拉氏变换 326

14.3　拉普拉斯变换应用举例 327

复习题14 329

附录A　积分表 330

附录B　标准正态分布表 340

附录C　泊松分布表 341

附录D　t分布表 343

附录E　χ2分布表 344

参考答案 346

参考文献 377