高等数学竞赛试题解析 2013

上篇 高等数学竞赛（高职高专）的基本内容与重要方法 3

1 函数与极限 3

1.1 一元函数基本概念 3

1.2 极限概念 4

1.3 极限存在的两个准则 5

1.4 复合函数的极限（求极限的变量代换法则） 5

1.5 求极限的各种方法 5

1.6 函数的连续性概念 6

1.7 复合函数的极限与连续性 7

1.8 定义在闭区间上的连续函数的重要性质 7

2 一元函数微分学 8

2.1 导数的定义 8

2.2 导数基本公式 9

2.3 求导法则 10

2.4 高阶导数 10

2.5 微分概念 11

2.6 微分中值定理 12

2.7 洛必达法则（这是求极限的最重要方法） 13

2.8 导数在几何上的应用 14

3 一元函数积分学 16

3.1 原函数与不定积分基本概念 16

3.2 不定积分基本公式 16

3.3 不定积分的基本计算方法 17

3.4 一些常用函数的积分技巧 18

3.5 定积分的定义 18

3.6 定积分的主要性质（假设下列定积分的被积函数皆可积） 19

3.7 变限的定积分 19

3.8 定积分的基本计算方法 20

3.9 介绍两个定积分计算技巧 20

3.10 定积分在几何上的应用 21

3.11 定积分在物理上的应用 22

3.12 无穷区间上的广义积分 22

3.13 无界函数的广义积分 23

4 空间解析几何 25

4.1 向量代数 25

4.2 平面的方程 26

4.3 直线的方程 26

4.4 空间曲面的方程 26

4.5 空间曲线的方程 27

5 多元函数微分学 29

5.1 二元函数的极限 29

5.2 二元函数的连续性 30

5.3 偏导数概念 30

5.4 全微分概念 31

5.5 多元复合函数的偏导数 32

5.6 多元隐函数的偏导数 33

5.7 高阶偏导数 33

5.8 二元函数的极值 34

5.9 多元函数的条件极值（拉格朗日乘数法） 34

5.10 多元函数的最值 35

6 二重积分 36

6.1 二重积分的定义 36

6.2 二重积分的主要性质（假设下列二重积分的被积函数皆可积） 36

6.3 二重积分的基本计算方法 37

6.4 交换二次积分的积分次序 38

6.5 二重积分的应用 38

7 级数 39

7.1 数项级数的敛散性定义与重要性质 39

7.2 正项级数的敛散性判别法 39

7.3 任意项级数的敛散性判别法 40

7.4 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域与和函数 41

7.5 初等函数关于x的幂级数展开式 42

8 微分方程 43

8.1 微分方程的基本概念 43

8.2 一阶微分方程 43

8.3 可降阶的二阶微分方程 44

8.4 二阶线性微分方程 44

8.5 微分方程的应用 46

下篇 高等数学竞赛（高职高专）试题解析 49

1 江苏省普通高校非理科专业高等数学竞赛专科类试题与解析 49

第一届（1991年）专科类竞赛试题与解析 49

第二届（1994年）专科类竞赛试题与解析 55

第三届（1996年）专科类竞赛试题与解析 61

第四届（1998年）专科类竞赛试题与解析 67

第五届（2000年）专科类竞赛试题与解析 74

第六届（2002年）专科类竞赛试题与解析 82

第七届（2004年）专科类竞赛试题与解析 89

第八届（2006年）专科类竞赛试题与解析 95

第九届（2008年）专科类竞赛试题与解析 103

第十届（2010年）专科类竞赛试题与解析 107

第十一届（2012年）专科类竞赛试题与解析 111

2 北京市大学生（非数学专业）高等数学竞赛大专组试题与解析 117

第五届（1993年）大专组竞赛试题与解析 117

第六届（1994年）大专组竞赛试题与解析 124

第七届（1995年）大专组竞赛试题与解析 132

第八届（1996年）大专组竞赛试题与解析 138

第九届（1997年）大专组竞赛试题与解析 146

第十届（1998年）大专组竞赛试题与解析 152

第十一届（1999年）大专组竞赛试题与解析 158

第十二届（2000年）大专组竞赛试题与解析 164

第十三届（2001年）大专组竞赛试题与解析 170

第十四届（2002年）大专组竞赛试题与解析 176

3 浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛大专类试题与解析 183

2003年大专类竞赛试题与解析 183

2004年大专类竞赛试题与解析 186

2005年大专类竞赛试题与解析 190

2006年大专类竞赛试题与解析 196

2007年大专类竞赛试题与解析 200

2008年大专类竞赛试题与解析 204

2009年大专类竞赛试题与解析 208

2010年大专类竞赛试题与解析 213

2011年大专类竞赛试题与解析 217

4 上海市大学生高等数学竞赛专科组试题与解析 222

1991年专科组竞赛试题与解析 222