微积分 上

第1章　极限与连续 1

1.1　数列极限 1

1.1.1　数列极限的定义 2

1.1.2 收敛数列的性质 5

1.1.3 收敛数列的四则运算 7

1.1.4　数列收敛的判别法则 9

1.1.5　趋于无穷大的数列 13

1.1.6 自然对数底e 14

习题1.1（A） 15

习题1.1（B） 17

1.2　函数极限 18

1.2.1　函数在无穷大处的极限 18

1.2.2　函数在一点的极限 20

1.2.3　函数极限与数列极限的关系 23

1.2.4　函数极限的性质和运算 24

1.2.5　函数极限存在判别法 26

1.2.6　两个重要极限 28

1.2.7　无穷大量 29

1.2.8　无穷小量 30

1.2.9 关于“O”和“o” 32

习题1.2 33

1.3　连续函数 35

1.3.1　连续的定义 35

1.3.2　连续函数的性质与运算 38

1.3.3 闭区间上连续函数的性质 41

习题1.3（A） 43

习题1.3（B） 46

第2章　一元函数的微分学 47

2.1　导数 47

2.1.1　导数的定义 47

2.1.2　导数的运算 50

2.1.3　求导基本法则和基本公式 55

2.1.4　高阶导数 56

习题2.1（A） 59

习题2.1（B） 62

2.2　一元函数的微分 62

2.2.1　微分的定义 62

2.2.2　微分运算的基本公式和法则 65

2.2.3　一阶微分的形式不变性 65

2.2.4　高阶微分 66

习题2.2 67

2.3 Lagrange中值定理、函数的增减与极值 68

2.3.1 Fermat定理和Rolle定理 68

2.3.2 Lagrange中值定理 70

2.3.3　函数的增减 72

2.3.4　函数的极值 73

习题2.3（A） 74

习题2.3（B） 76

2.4 Cauchy中值定理和未定式极限 77

2.4.1 Cauchy中值定理和L'Hospital法则 77

2.4.2　其他类型未定式 81

习题2.4 83

2.5　函数图形的描绘 85

2.5.1　函数的凹凸和拐点 85

2.5.2　函数的渐近线 87

2.5.3　描绘函数图像的要点 89

习题2.5（A） 90

习题2.5（B） 91

2.6 Taylor公式 92

2.6.1 Taylor多项式 92

2.6.2 Taylor定理 93

2.6.3　几个基本初等函数的Maclaurin公式 95

习题2.6（A） 98

习题2.6（B） 99

第3章　一元函数的不定积分 101

3.1　原函数和不定积分的概念 101

3.1.1　求导的逆运算 101

3.1.2　基本积分公式 103

习题3.1 104

3.2　基本积分方法 105

3.2.1　换元积分法 105

3.2.2　分部积分法 109

习题3.2 112

3.3　有理函数的积分 115

3.3.1　部分分式法 115

3.3.2　三角有理式的积分 118

3.3.3　其他 120

习题3.3 122

第4章　一元函数的定积分 124

4.1　定积分的定义和性质 124

4.1.1　定积分的定义 124

4.1.2 Newton-Leibniz定理 127

4.1.3　定积分的性质 128

习题4.1（A） 134

习题4.1（B） 137

4.2　微积分基本定理 138

习题4.2（A） 140

习题4.2（B） 141

4.3　定积分的换元法和分部积分法 142

4.3.1　定积分的换元法 142

4.3.2　定积分的分部部分法 144

习题4.3（A） 146

习题4.3（B） 148

4.4　积分近似计算 148

4.4.1　矩形法 149

4.4.2　梯形法 150

4.4.3　抛物线法（Simpson公式） 152

习题4.4 153

4.5　定积分应用举例 153

4.5.1　微元法 153

4.5.2　平面曲线的弧长 155

4.5.3　平面曲线的曲率 157

4.5.4　平面图形的面积 160

4.5.5　旋转体的体积 164

4.5.6　旋转体的侧面积 166

4.5.7　力学应用举例 167

习题4.5 168

4.6　广义积分 170

4.6.1　无穷积分 170

4.6.2　瑕积分 173

4.6.3 广义积分的Cauchy主值 175

习题4.6 176

第5章　常微分方程 177

5.1　常微分方程的基本概念 177

习题5.1 178

5.2　一阶微分方程 178

5.2.1　可直接积分的方程 179

5.2.2　齐次方程 180

5.2.3　一阶线性微分方程 184

5.2.4　可降阶的二阶微分方程 188

习题5.2 190

5.3　二阶线性微分方程的一般理论 191

5.3.1 二齐次线性方程通解的结构 191

5.3.2 二阶线性非齐次方程通解的结构 196

习题5.3 198

5.4　二阶常系数线性微分方程 199

5.4.1 关于复值函数、复值解及复变量指数函数的注记 199

5.4.2 二阶常系数线性齐次方程 201

5.4.3　二阶常系数线性非齐次方程 204

5.4.4 Euler方程 207

习题5.4 209

5.5　质点的振动 210

5.5.1 自由简谐振动 210

5.5.2 自由阻尼振动 211

5.5.3　无阻尼的强迫振动 213

习题5.5 214

5.6　微分方程组 214

习题5.6 216

第6章 实数集的连续性，函数的可积性 217

6.1　实数集的连续性 217

6.1.1　实数的连续性命题 217

6.1.2　十进制小数和有理数集的完备化 222

6.1.3 连续函数的性质 223

习题6.1 225

6.2 可积函数及积分的性质 226

6.2.1 连续函数的可积性 227

6.2.2 可积函数 229

6.2.3　积分的性质 231

习题6.2 235

附录Ⅰ 部分参考答案及提示 236

附录Ⅱ 参考教学进度 257