实用高等数学

引言 1

绪论 1

上篇·公共篇 9

第1章　函数、极限与连续 9

1.1 函数 9

1.1.1 区间与邻域 9

1.1.2 函数的概念 10

1.1.3 函数的四种特性 10

1.1.4 分段函数与复合函数 11

1.1.5 初等函数 12

1.2　函数的极限 13

1.2.1 函数极限的概念 13

1.2.2 函数极限的四则运算法则 16

1.2.3 两个重要极限 17

1.2.4 无穷小量与无穷大量 19

1.3　函数的连续性 24

1.3.1 函数的连续性定义 24

1.3.2　初等函数的连续性 26

第2章　导数与微分 29

2.1　函数的导数 29

2.1.1 两个实例 29

2.1.2 导数的概念 30

2.1.3 可导与连续的关系 33

2.2　导数的运算 34

2.2.1 导数的四则运算法则 34

2.2.2 复合函数的求导法则 35

2.2.3　反函数的求导法则 35

2.2.4　初等函数求导公式 36

2.2.5 三个求导法则 37

2.2.6 高阶导数 39

2.3　函数的微分 40

2.3.1　微分的概念 40

2.3.2　微分的运算 42

2.3.3　微分在近似计算中的应用 42

第3章　导数的应用 45

3.1　中值定理 45

3.1.1 罗尔中值定理 45

3.1.2　拉格朗日中值定理 46

3.1.3　柯西中值定理 47

3.2　洛必达法则 47

3.2.1 0/0型未定式 47

3.2.2 ∞/∞型未定式 48

3.2.3　其他类型不定式 50

3.3　函数的单调性 51

3.3.1 单调性的判定 51

3.3.2 求单调区间举例 52

3.4　函数的极值与最值 53

3.4.1 函数的极值 53

3.4.2 函数的最大最小值 55

3.5 曲线的凹凸性和拐点及函数图像描绘 57

3.5.1 曲线的凹凸性与拐点 57

3.5.2 函数图像的描绘 59

3.6　曲率 61

3.6.1 曲率的概念 61

3.6.2 曲率的计算 62

第4章　不定积分 64

4.1　不定积分的概念与性质 64

4.1.1 原函数与不定积分 64

4.1.2　不定积分的性质 65

4.1.3 不定积分基本积分公式 66

4.2　不定积分的积分方法 67

4.2.1 直接积分法 67

4.2.2　换元积分法 68

4.2.3　分部积分法 72

4.2.4　简易积分表及其使用 74

第5章　定积分 76

5.1　定积分的概念与性质 76

5.1.1 两个实例 76

5.1.2 定积分的定义 78

5.1.3　定积分的几何意义 79

5.1.4　定积分的性质 79

5.2　定积分的计算 81

5.2.1　微积分基本公式 81

5.2.2　定积分的换元积分法 83

5.2.3　定积分的分部积分法 84

5.3　广义积分 86

5.3.1 积分区间为无限的广义积分 86

5.3.2　无界函数的广义积分 87

5.4　定积分的应用 89

5.4.1 定积分的微元法 89

5.4.2 平面图形的面积 89

5.4.3　旋转体的体积 91

5.4.4　其他应用举例 93

下篇·选学篇 97

第6章　行列式 97

6.1　行列式的概念 97

6.1.1 二阶和三阶行列式 97

6.1.2 高阶行列式 100

6.2　行列式性质 101

6.3　克莱姆法则 104

第7章　矩阵 107

7.1　矩阵的概念 107

7.1.1　矩阵的定义 108

7.1.2　特殊矩阵 109

7.2　矩阵的运算 110

7.2.1 矩阵的加法与减法 111

7.2.2　数乘矩阵 111

7.2.3　矩阵的乘法 112

7.2.4 方阵的行列式 115

7.3　矩阵的初等变换与逆矩阵 116

7.3.1 矩阵的初等变换 116

7.3.2　逆矩阵的概念 117

7.3.3　逆矩阵的性质 118

7.3.4　逆矩阵的求法 118

7.3.5　逆矩阵的应用 119

7.4　矩阵的秩 120

7.4.1　矩阵秩的定义 120

7.4.2　用初等变换求矩阵的秩 121

7.5　线性方程组 123

第8章　空间解析几何简介 130

8.1　空间直角坐标系 130

8.1.1 空间直角坐标系的概念 130

8.1.2 向量的概念及其运算 131

8.2　两向量的向量积 133

8.3　平面与直线方程 135

8.3.1 空间平面的方程 135

8.3.2 空间直线的方程 137

8.4　曲面与曲线方程 141

8.4.1 曲面方程的概念 141

8.4.2　常见曲面的方程 141

8.4.3 空间曲线 145

第9章　二元函数微积分 147

9.1　二元函数的基本概念、极限与连续 147

9.1.1 二元函数的定义 148

9.1.2　二元函数的定义域 148

9.1.3 二元函数的几何意义 149

9.1.4 二元函数的极限 150

9.1.5 二元函数的连续性 151

9.1.6 有界闭区域上连续函数的性质 152

9.2　偏导数 152

9.2.1　偏导数的概念 152

9.2.2　偏导数的计算 153

9.2.3 二阶偏导数 154

9.3　二元函数的极值与最值 155

9.3.1 二元函数的极值 155

9.3.2 二元函数的最值 157

9.3.3　条件极值 158

9.4　二重积分 160

9.4.1 二重积分的概念 160

9.4.2 二重积分的性质 162

9.4.3 二重积分的计算方法 163

第10章　无穷级数 167

10.1　常数项级数的概念与性质 167

10.1.1 常数项级数的概念 167

10.1.2 收敛级数的基本性质 170

10.2　正项级数及其审敛法 171

10.2.1 比较审敛法 171

10.2.2 比值审敛法 174

10.2.3　根值审敛法 174

10.3　任意项级数 175

10.3.1 交错级数及其审敛法 175

10.3.2 绝对收敛与条件收敛 176

10.4　幂级数 177

10.4.1 函数项级数的一般概念 177

10.4.2　幂级数及其收敛性 179

10.4.3　幂级数的四则运算及性质 181

10.5　函数的幂级数展开及应用 183

10.5.1 麦克劳林公式 183

10.5.2 函数展开成幂级数 184

10.6　傅里叶级数 187

10.6.1 三角级数及其正交性 187

10.6.2 函数展开成傅里叶级数 188

10.6.3　奇函数和偶函数的傅里叶级数 191

第11章　常微分方程 194

11.1　微分方程的基本概念 194

11.1.1 两个引例 194

11.1.2　微分方程的定义 195

11.1.3　微分方程的阶、解、通解与特解 195

11.2　一阶微分方程 197

11.2.1 可分离变量的微分方程 197

11.2.2 齐次微分方程 199

11.2.3 一阶线性微分方程 200

11.3　二阶微分方程 205

11.3.1 可降阶的二阶微分方程 205

11.3.2 二阶线性微分方程解的结构 208

11.3.3 二阶常系数线性齐次微分方程 209

11.3.4 二阶常系数线性非齐次微分方程 211

第12章　拉普拉斯变换及其应用 216

12.1　拉氏变换的概念 216

12.1.1 拉氏变换的定义 216

12.1.2 几种常用函数的拉氏变换 217

12.1.3 拉氏变换的性质 218

12.2　拉氏变换的逆变换及应用举例 221

12.2.1 拉氏变换的逆变换 221

12.2.2　拉氏变换的应用举例 224

第13章　离散数学简介 226

13.1　图的概念 226

13.1.1 图与网络 226

13.1.2　最短路问题 230

13.1.3　最小树问题 230

13.1.4　最大流问题 232

13.2　逻辑初步 234

13.2.1　命题及其符号化 234

13.2.2　命题公式与公式等值 237

13.2.3　命题逻辑基本推理 239

13.2.4 谓词逻辑及其应用 240

13.2.5 与量词有关的推理 244

附录A　基本初等函数表 246

附录B　积分表 249

参考文献 258