复变函数论

第1章 复数与复值函数 1

1.1 复平面与扩充复平面 1

A. 复数 1

B. 复数的平面表示 2

C. 直线和圆的方程 5

D. 复数的球面表示 7

习题 8

1.2 领域与开集 10

A. 复平面上的领域与开集 10

B. 序列与极限 12

C. 扩充复平面上的领域与开集 15

习题 16

1.3 连续函数 17

A. 复坐标下的连续函数 17

B. 连续函数序列 19

C. 等度连续 20

习题 23

1.4 平面曲线 24

A. 曲线的表示 24

B. 连续集 25

C. 连续的辐角函数 28

习题 34

第2章 可微函数 37

2.1 函数的微分 37

A. 实坐标下函数的微分 37

B. 复坐标下函数的微分 38

习题 41

2.2 全纯函数 42

A. Cauchy-Riemann条件 42

B. 一些初步讨论 44

C. 反函数的存在性 45

D. 保角性质 46

习题 49

A. 分式线性函数 50

2.3 分式线性变换 50

B. 对称 52

C. 交比 54

习题 57

2.4 级数 58

A. 复数项级数 58

B. 函数项级数 59

C. 幂级数 60

D. 指数函数与三角函数 62

习题 65

第3章 复积分 68

3.1 积分的基本性质 68

A. 区间上的复积分 68

B. 光滑曲线上的积分 69

C. 复坐标下的面积分 73

D. Green公式的复形式 75

习题 77

A. 绕数的积分表示 78

3.2 多值函数的单值支 78

B. 单连通区域 79

C. 对数区域的单值支 83

D. 一般幂函数的单值支 91

习题 94

第4章 全纯函数与半纯函数 96

4.1 Cauchy积分理论 96

A. Cauchy积分公式 96

B. 全纯函数的幂级数展开 97

C. 函数全纯的积分判别法 102

D. Cauchy定理的一般形式 105

习题 110

4.2 零点与极点 111

A. 零点的孤立性 111

B. 在极点附近的分解式 115

C. 辐角原理 117

D. 全纯函数的局部行为 121

习题 122

4.3 留数理论 124

A. Laurent级数 124

B. 本性奇点 126

C. 留数 130

D. 留数定理 132

习题 139

4.4 分解理论 141

A. 部分分式 141

B. 无穷乘积 147

C. 全纯函数的因子分解 150

习题 154

第5章 调和函数 156

5.1 调和函数 156

A. 均值性质 156

B. Poisson积分 160

C. Laplace方程 164

D. 调和函数的孤立奇性 168

E. 典型区域上调和函数的边值问题 171

习题 175

5.2 次调和函数 176

A. 次均值性质 176

B. Perron族 181

C. 一般的Dirichlet问题 184

D. Green函数 187

习题 192

第6章 双全纯映射 194

6.1 典型区域的全纯自同构 194

A. 单位圆的全纯自同构 194

B. 复平面的全纯自同构 196

习题 196

6.2 Riemann映射定理 197

A. 凝聚原理 197

B. 单连通区域到单位圆的双全纯映射 200

C. Riemann映射的极值性质 204

D. 边界对应 207

习题 212

6.3 上半平面到多边形的双全纯映射 213

A. Schwarz对称原理 213

B. 关于解析曲线的对称 217

C. 上半平面到多边形内的双全纯映射 219

习题 224

6.4 全纯函数空间 225

A. 平方可积全纯函数空间 225

B. 完备正规正交系 228

C. Bergman核 232

D. 不变度量 237

习题 241

第7章 解析延拓 242

7.1 解析延拓 242

A. 解析延拓的一般概念 242

B. 对数函数与幂函数的解析延拓 246

C. Riemann面 247

习题 252

7.2 单值性定理 254

A. 沿曲线的解析延拓 254

B. 单值性定理 256

习题 259

附录Ⅰ 可求长曲线上的积分 261

A. 可求长曲线 261

B. 曲线积分 263

C. 曲线积分的性质 268

附录Ⅱ 利用留数计算定积分 273

A. 与三角函数有关的积分 273

B. 连续函数在实轴上的广义积分 273

C. 在实轴上有一阶极点的函数的积分 274

D. 与多值函数有关的积分 276

参考文献 280

索引 281