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绪论 1
第一章 预备知识 6
1.1 三维欧氏空间中的标架 6
1.2 向量函数 16
第二章 曲线论 21
2.1 正则参数曲线 21
2.2 曲线的弧长 28
2.3 曲线的曲率和Frenet标架 31
2.4 曲线的挠率和Frenet公式 39
2.5 曲线论基本定理 46
2.6 曲线参数方程在一点的标准展开 53
2.7 存在对应关系的曲线偶 59
2.8 平面曲线 66
第三章 曲面的第一基本形式 73
3.1 正则参数曲面 73
3.2 切平面和法线 85
3.3 第一基本形式 91
3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性 100
3.5 保长对应和保角对应 106
3.6 可展曲面 121
第四章 曲面的第二基本形式 132
4.1 第二基本形式 132
4.2 法曲率 141
4.3 Weingarten映射和主曲率 151
4.4 主方向和主曲率的计算 159
4.5 Dupin标形和曲面参数方程在一点的标准展开 168
4.6 某些特殊曲面 176
第五章 曲面论基本定理 183
5.1 自然标架的运动公式 183
5.2 曲面的唯一性定理 193
5.3 曲面论基本方程 196
5.4 曲面的存在性定理 202
5.5 Gauss定理 207
第六章 测地曲率和测地线 217
6.1 测地曲率和测地挠率 217
6.2 测地线 228
6.3 测地坐标系和法坐标系 240
6.4 常曲率曲面 253
6.5 曲面上切向量的平行移动 260
6.6 抽象曲面 269
6.7 抽象曲面上的几何学 273
6.8 抽象曲面的曲率 285
6.9 Gauss-Bonnet公式 294
第七章 活动标架和外微分法 304
7.1 外形式 305
7.2 外微分式和外微分 317
7.3 E3中的标架族 335
7.4 曲面上的正交标架场 346
7.5 曲面上的曲线 366
7.6 应用举例 376
附录 383
1 关于微分方程的几个定理 383
2 自共轭线性变换的特征值 401
3 用MATHEMATICA做的课件 406
习题解答和提示 420
参考文献 434
索引 435