非线性随机动力学与控制 Hamilton理论体系框架

第一章 Hamilton 系统 1

1.1 Hamilton 方程 1

1.1.1 从 Lagrange 方程到 Hamilton 方程 1

1.1.2 陀螺与非陀螺 Hamilton 系统 3

1.2 Poisson 括号 12

1.3 Hamilton 相流 14

1.4 正则变换 17

1.5 Hamilton-Jacobi 方程 20

1.6 可积 Hamilton 系统 25

1.6.1 Liouville 定理 25

1.6.2 作用-角变量 26

1.6.3 环面上相流 31

1.6.4 Hamilton 系统的积分方法 34

1.6.5 可积 Hamilton 系统之例 39

1.6.6 Hamilton 系统在平衡位置邻域的可积性 42

1.7 不可积 Hamilton 系统 44

1.8 部分可积 Hamilton 系统 50

1.9 Hamilton 系统的遍历性 51

参考文献 53

第二章 扩散过程 55

2.1 扩散过程及其概率描述 55

2.1.1 Markov 过程 55

2.1.2 扩散过程与 Fokker-Planck-Kolmogorov 方程 57

2.1.3 后向 Kolmogorov 方程 63

2.2 Wiener 过程 67

2.2.1 独立增量过程 67

2.2.2 Wiener 过程 69

2.3 广义随机过程与 Gauss 白噪声 75

2.4 It？随机微分方程 77

2.4.1 It？随机积分 77

2.4.2 It？随机微分与 It？微分公式 83

2.4.3 It？随机微分方程 86

2.5 It？随机微分方程之解 89

2.5.1 强解与弱解 89

2.5.2 稳态解 90

2.5.3 精确解析解 92

2.5.4 数值解 98

2.6 It？随机微分方程与 Kolmogorov 方程 102

2.7 Stratonovich 随机微分方程 105

2.8 一维扩散过程的边界 111

2.8.1 边界的分类 111

2.8.2 奇异边界 113

2.8.3 扩散过程的渐近性态与其边界类别之间的关系 118

参考文献 118

第三章 精确平稳解 120

3.1 随机激励的耗散的 Hamilton 系统 120

3.2 Gauss 白噪声激励下耗散的 Hamilton 系统 122

3.2.1 FPK 方程 122

3.2.2 求精确平稳解之方法 126

3.3 精确平稳解：Gauss 白噪声激励下耗散的不可积 Hamilton 系统 130

3.4 精确平稳解：Gauss 白噪声激励下耗散的可积 Hamilton 系统 135

3.4.1 非内共振情形 135

3.4.2 内共振情形 141

3.5 精确平稳解：Gauss 白噪声激励下耗散的部分可积 Hamilton 系统 145

3.5.1 非内共振情形 145

3.5.2 内共振情形 147

3.6 Gauss 白噪声激励下耗散的陀螺系统的精确平稳解 150

3.7 推广 155

3.7.1 更一般的系统 155

3.7.2 Causs 白噪声与周期或概周期激励下耗散的 Hamilton 系统的稳态解 157

参考文献 164

第四章 等效非线性系统法 166

4.1 引言 166

4.2 Gauss 白噪声激励下耗散的不可积 Hamilton 系统 169

4.3 Gauss 白噪声激励下耗散的可积 Hamilton 系统 175

4.3.1 非内共振情形 175

4.3.2 内共振情形 182

4.4 Gauss 白噪声激励下耗散的部分可积 Hamilton 系统 186

4.4.1 非内共振情形 187

4.4.2 内共振情形 195

参考文献 201

第五章 随机平均法 203

5.1 随机平均原理 203

5.2 拟不可积 Hamilton 系统的随机平均 206

5.3 拟可积 Hamilton 系统随机平均 214

5.3.1 非内共振情形 215

5.3.2 内共振情形 221

5.4 拟部分可积 Hamilton 系统的随机平均 227

5.4.1 非内共振情形 228

5.4.2 内共振情形 232

5.5 平稳宽带随机激励下拟可积 Hamilton 系统的随机平均 238

5.5.1 单自由度系统 240

5.5.2 多自由度系统 252

5.6 谐和与白噪声激励下单自由度强非线性系统的随机平均 261

5.7 有界噪声激励下单自由度强非线性系统的随机平均 267

5.7.1 有界噪声 267

5.7.2 随机平均方程 268

参考文献 270

第六章 随机稳定性与随机分岔 273

6.1 随机稳定性与随机分岔概述 273

6.1.1 随机稳定性 273

6.1.2 随机分岔 280

6.2 拟不可积 Hamilton 系统的渐近稳定性 286

6.2.1 用平均 It?方程的 Lyapunov 指数判定概率为1渐近稳定性 286

6.2.2 用平均扩散过程的边界类别判定概率渐近稳定性 295

6.3 拟可积 Hamilton 系统概率为1渐近稳定性 302

6.3.1 拟可积 Hamilton 系统的最大 Lyapunov 指数 302

6.3.2 线性随机非陀螺系统的稳定性 305

6.3.3 线性随机陀螺系统的稳定性 308

6.3.4 非线性随机系统的稳定性 313

6.4 拟部分可积 Hamilton 系统概率为1渐近稳定性 315

6.5 求概率为1渐近稳定域的一种新方法 318

6.6 拟不可积 Hamilton 系统的随机 Hopf 分岔 322

6.7 Duffing 振子的随机跳跃及其分岔 330

6.8 拟 Hamilton 系统的随机同(异)宿分岔与混沌 335

6.8.1 单自由度系统 336

6.8.2 两自由度系统 339

参考文献 341

第七章 首次穿越 346

7.1 时齐扩散过程首次穿越问题的一般提法 346

7.2 拟不可积 Hamilton 系统 349

7.3 拟可积 Hamilton 系统 356

7.4 拟部分可积 Hamilton 系统 363

7.5 谐和与白噪声激励下的单自由度强非线性系统 367

参考文献 368

第八章 非线性随机最优控制 370

8.1 随机最优控制概论 370

8.1.1 引言 370

8.1.2 随机最优控制问题的提法 371

8.1.3 随机动态规划方法 374

8.1.4 部分可观测系统的随机最优控制 382

8.2 拟不可积 Hamilton 系统的随机最优控制 388

8.2.1 一般方法 388

8.2.2 Duffing 振子的无界遍历控制 395

8.2.3 滞迟系统的无界遍历控制 398

8.2.4 弹簧摆的有界遍历控制 403

8.3 拟可积 Hamilton 系统的随机最优控制 405

8.3.1 一般方法 405

8.3.2 非线性阻尼耦合谐振子的无界遍历控制 408

8.3.3 非线性阻尼耦合的 Duffing 振子的有界遍历控制 411

8.4 应用 ER/MR 阻尼器的随机最优半主动控制 412

8.5 部分可观测线性系统的非线性随机最优控制 418

8.5.1 问题的提法 419

8.5.2 等价的完全可观测随机最优控制问题 422

8.5.3 随机平均 423

8.5.4 动态规划方程与最优控制力 424

8.5.5 最优控制结构的响应 427

8.5.6 LQG 控制 429

8.5.7 数例 431

8.6 随机稳定化 431

8.6.1 拟不可积 Hamilton 系统：Lyapunov 指数法 432

8.6.2 拟不可积 Hamilton 系统：边界类别法 438

8.6.3 拟可积 Hamilton 系统 444

8.6.4 拟部分可积 Hamilton 系统 451

8.7 首次穿越损坏的反馈最小化 453

8.7.1 拟不可积 Hamilton 系统 454

8.7.2 拟可积 Hamilton 系统 463

8.7.3 拟部分可积 Hamilton 系统 472

参考文献 475

索引 478