高等数学 上

第1章 函数、极限与连续 1

1.1 函数及其性质 1

一、函数的概念 1

二、函数的几种特性 6

三、初等函数 8

能力训练题1.1 11

1.2 极限的概念 12

一、数列的极限 12

二、函数的极限 13

三、极限的性质 16

能力训练题1.2 17

1.3 无穷小量与无穷大量 17

一、无穷小量 17

二、无穷大量 18

三、无穷大量与无穷小量的关系 19

能力训练题1.3 19

1.4 极限的四则运算法则 20

能力训练题1.4 23

1.5 两个重要极限 24

一、？sinx/x=1 24

二、？（1＋1/x）x=e 26

能力训练题1.5 28

1.6 无穷小量的比较 29

一、无穷小量的比较 29

二、等价无穷小的应用 29

能力训练题1.6 30

1.7 函数的连续性 31

一、函数的连续性定义 31

二、函数间断点 32

三、初等函数的连续性 33

四、闭区间上连续函数的性质 34

能力训练题1.7 36

能力测试题一 37

第2章 一元函数微分学 39

2.1 导数概念 39

一、引例 39

二、导数的定义 41

三、由定义求导举例 42

四、左导数与右导数 43

五、导数的几何意义 43

六、可导与连续的关系 44

能力训练题2.1 45

2.2 导数的基本公式及运算法则 46

一、基本初等函数及常数的导数 46

二、导数的四则运算法则 47

三、反函数求导法则 48

四、复合函数的求导法则 49

五、隐函数的导数 51

六、对数求导法 52

能力训练题2.2 53

2.3 函数的微分 55

一、微分的定义 55

二、微分的几何意义 56

三、微分的计算 57

四、由参数方程确定的函数的导数 58

五、微分在近似计算中的应用 59

能力训练题2.3 60

2.4 高阶导数 61

能力训练题2.4 63

2.5 微分中值定理与洛比达法则 64

一、微分中值定理 64

二、洛比达法则 68

能力训练题2.5 71

2.6 函数的单调性及其极值 73

一、函数单调性的判别 73

二、函数的极值及其求法 75

能力训练题2.6 79

2.7 函数的最值 80

一、闭区间上连续函数的最值 81

二、最值应用题 81

能力训练题2.7 84

2.8 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描绘 85

一、曲线的凹凸性与拐点 85

二、曲线的水平渐近线和垂直渐近线 87

三、函数图形的描绘 89

能力训练题2.8 90

能力测试题二 91

第3章 一元函数积分学 93

3.1 不定积分的概念与性质 93

一、原函数 93

二、不定积分的概念及几何意义 94

三、不定积分的积分公式 95

能力训练题3.1 97

3.2 换元积分法 98

一、第一类换元积分法（凑微分法） 99

二、第二类换元积分法 104

能力训练题3.2 107

3.3 分部积分法 109

能力训练题3.3 113

3.4 定积分的概念及性质 114

一、引例 114

二、定积分的概念 116

三、定积分的几何意义 118

四、定积分的性质 119

能力训练题3.4 122

3.5 微积分基本公式 123

一、变上限的定积分 123

二、牛顿—莱布尼兹公式 125

能力训练题3.5 127

3.6 定积分的积分方法 128

一、定积分的换元积分法 128

二、定积分的分部积分法 131

三、无穷区间上的广义积分 133

能力训练题3.6 135

3.7 定积分的应用 136

一、定积分的微元法 136

二、平面图形的面积 137

三、立体的体积 139

四、物理应用 142

能力训练题3.7 145

能力测试题三 146

第4章 微分方程 149

4.1 微分方程的基本概念 149

一、引例 149

二、微分方程的基本概念 150

能力训练题4.1 152

4.2 一阶微分方程 152

一、可分离变量的一阶微分方程 152

二、一阶线性微分方程 155

能力训练题4.2 159

4.3 特殊的可降阶的微分方程 159

一、用降阶法解y（n）=f（x）类型的方程 159

二、用降阶法解y″=f（x,y′）类型的方程 160

能力训练题4.3 161

4.4 二阶线性微分方程 161

一、二阶线性微分方程解的结构 161

二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 163

三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 166

能力训练题4.4 171

能力测试题四 171

习题答案 173