线性代数

预备知识与记号 1

第一章 行列式 4

1.1 行列式概念的引入与定义 4

习题A1.1 7

1.2 行列式的性质 8

习题A1.2 14

1.3 行列式的按行（列）展开 15

习题A1.3 18

1.4 拉普拉斯（Laplace）定理 19

习题A1.4 21

1.5 行列式的计算 22

习题A1.5 25

1.6 线性方程组的克莱默（Cramer）定理 26

习题A1.6 29

习题B1 29

第二章 线性方程组 33

2.1 向量与矩阵的概念 33

习题A2.1 36

2.2 向量和矩阵的线性运算 36

习题A2.2 39

2.3 向量的线性关系 39

习题A2.3 43

2.4 向量组的秩 45

习题A2.4 48

2.5 向量子空间 48

习题A2.5 50

2.6 初等变换与矩阵的秩 50

习题A2.6 55

2.7 线性方程组的解及解的结构 56

习题A2.7 62

习题B2 63

第三章 矩阵代数 66

3.1 矩阵的乘法 66

3.1.1 定义及示例 66

3.1.2 矩阵乘法的特殊性 69

3.1.3 运算律 70

习题A3.1 73

3.2 矩阵的分块及其运算 73

习题A3.2 77

3.3 可逆矩阵 78

习题A3.3 81

3.4 初等变换、初等矩阵和逆矩阵的计算 82

3.4.1 初等矩阵 82

3.4.2 用初等变换计算矩阵的逆 84

习题A3.4 89

3.5 简单的投入产出经济模型 90

3.6 对称矩阵与正交矩阵 91

3.6.1 对称矩阵 91

3.6.2 正交矩阵 92

3.6.3 内积与向量组的正交化 94

习题A3.6 97

习题B3 98

第四章 特征值与矩阵的相似及对角化 100

4.1 矩阵相似的概念 100

习题A4.1 102

4.2 特征值、特征多项式与特征向量 102

4.2.1 特征多项式 102

4.2.2 代数重数与几何重数 103

习题A4.2 106

4.3 矩阵可对角化的条件 106

4.3.1 主要定理 106

4.3.2 几个例子 107

习题A4.3 109

4.4 进一步的性质 110

4.4.1 矩阵的相似三角形与特征值 110

4.4.2 矩阵的零化多项式与可对角化矩阵 113

4.4.3 矩阵的若当（Jordan）标准型简介 114

4.4.4 生长模型与线性递归 115

习题A4.4 117

4.5 矩阵序列与级数 117

习题A4.5 119

习题B4 119

第五章 二次型与对称矩阵的对角化 121

5.1 二次型与对称矩阵 121

5.1.1 二次型与对称矩阵 121

5.1.2 用配方法化二次型为平方和 122

5.1.3 用合同变换化对称矩阵为对角形 124

习题A5.1 127

5.2 用正交变换化实对称矩阵为对角形 129

习题A5.2 131

5.3 实二次型的惯性定理 131

习题A5.3 133

5.4 正（负）定的实二次型 133

习题A5.4 138

习题B5 139

第六章 线性空间与线性变换 142

6.1 线性空间 142

6.1.1 线性空间的概念 142

6.1.2 基、坐标、维数与子空间 144

6.1.3 基变换与坐标变换 145

习题A6.1 147

6.2 线性映射与线性变换及其矩阵 148

6.2.1 基本定理 148

6.2.2 线性映射和线性变换的矩阵 150

6.2.3 线性变换关于不同基的矩阵 152

习题A6.2 153

6.3 欧几里德空间 154

6.3.1 内积的概念与基本性质 154

6.3.2 标准正交基 156

6.3.3 正交变换 158

习题A6.3 159

习题B6 160

第七章 矩阵代数在经济学领域中的几个应用 161

7.1 雅可比行列式与比较静态导数 161

习题A7.1 167

7.2 海塞矩阵与无约束最优化 167

习题A7.2 172

7.3 加边海塞矩阵与约束最优化 172

习题A7.3 177

7.4 矩阵的克罗内克乘积 177

习题A7.4 179

7.5 向量、矩阵与微分 179

习题A7.5 184

习题B7 184

习题答案 185

索引 197