微分几何

第一章 空间曲线 1

1.1 预备知识 1

习题1.1 7

1.2 曲线的概念 7

1.2.1 曲线的一般概念 8

1.2.2 弧长与弧长参数 10

习题1.2 12

1.3 空间曲线的Frenet公式 13

1.3.1 曲线的密切平面 13

1.3.2 曲线的基本三棱形 15

1.3.3 曲线的曲率和挠率 19

1.3.4 空间曲线在一点附近的形状 23

习题1.3 24

1.4 平面曲线的Frenet公式 25

习题1.4 29

1.5 Frenet公式的运用 30

1.5.1 渐伸线与渐缩线 30

1.5.2 球面曲线 34

1.5.3 Bertrand曲线 35

1.5.4 一般螺线 37

习题1.5 38

1.6 空间曲线论基本定理 39

习题1.6 44

第二章 平面曲线的整体性质 46

2.1 平面闭曲线的等周不等式 46

习题2.1 50

2.2 平面曲线的旋转指标定理 51

习题2.2 54

2.3 卵形线 55

2.3.1 凸曲线 56

2.3.2 四顶点定理 57

2.3.3 支持函数 59

习题2.3 64

第三章 曲面的局部理论 66

3.1 曲面 66

习题3.1 72

3.2 曲面的第一基本形式 72

3.2.1 第一基本形式 72

3.2.2 曲面的面积 76

3.2.3 曲面上方向的夹角，正交网 78

习题3.2 83

3.3 曲面的等距变换与保角变换 83

3.3.1 等距变换 84

3.3.2 保角变换 87

习题3.3 89

3.4 曲面的第二基本形式 89

3.4.1 曲面的第二基本形式 89

3.4.2 法曲率 93

3.4.3 渐近曲线 98

习题3.4 101

3.5 主方向与主曲率，Euler公式 101

3.5.1 主方向与主曲率 101

3.5.2 Euler公式 106

习题3.5 109

3.6 Gauss曲率 110

3.6.1 Gauss曲率 110

3.6.2 Gauss映射 113

3.6.3 Gauss的绝妙定理 115

习题3.6 117

3.7 直纹面与可展曲面 118

3.7.1 直纹面 118

3.7.2 可展曲面 121

习题3.7 124

3.8 一些特殊曲面 124

3.8.1 常Gauss曲率曲面 124

3.8.2 极小曲面 129

习题3.8 133

3.9 曲面论基本定理 133

3.9.1 曲面的基本方程 135

3.9.2 曲面论基本定理 139

习题3.9 144

第四章 测地线与Gauss-Bonnet公式 146

4.1 曲面上的测地线 146

4.1.1 测地曲率 146

4.1.2 测地线 150

4.1.3 曲面上的半测地坐标网 154

习题4.1 157

4.2 Gauss-Bonnet公式 157

4.2.1 平面闭曲线的旋转指标 158

4.2.2 Gauss-Bonnet公式 160

习题4.2 165

4.3 整体曲面与Euler数 165

4.3.1 整体曲面 165

4.3.2 曲面的三角剖分与Euler示性数 172

习题4.3 174

4.4 整体的Gauss-Bonnet公式 174

4.4.1 整体的Gauss-Bonnet公式 174

4.4.2 Gauss映射的映射度 182

4.4.3 卵形面 185

习题4.4 188

第五章 曲面上的Levi-Civita联络 190

5.1 曲面上矢量的平行移动 190

5.1.1 曲面上矢量的平行移动 190

5.1.2 平行矢量场的角变差 195

习题5.1 201

5.2 曲面上的Levi-Civita联络 201

5.2.1 曲面上的矢量场 201

5.2.2 曲面上的矢量场与Euler数 206

5.2.3 曲面上的Levi-Civita联络 207

习题5.2 213

5.3 外微分形式与活动标架法 213

5.3.1 外微分形式 214

5.3.2 活动标架法 217

习题5.3 226

5.4 Riemann几何简介 227

5.4.1 Riemann几何简介 227

5.4.2 一个重要的例子 234

习题5.4 241

附录1 变分法 243

1 弧长变分 243

2 面积变分 245

附录2 旋转角 248

附录3 空间的等距变换 251

习题 254

名词索引 255

参考文献 259