大学数学 2

第6章　多元函数微分学 1

6.1　多元函数和向量函数的极限与连续 1

6.1.1　n维向量空间的区域 1

6.1.2　多元函数和向量函数 4

6.1.3　多元函数和向量函数的极限 7

6.1.4　多元函数和向量函数的连续 9

6.1.5　线性度量空间的极限与连续 10

习题6.1 12

6.2　偏导数 14

6.2.1　偏导数的概念 14

6.2.2　高阶偏导数 15

6.2.3　偏导数的几何意义 18

6.2.4　向量函数的偏导数 18

习题6.2 24

6.3　全微分及其应用 25

6.3.1　全微分的概念 25

6.3.2　函数可微的充分条件和必要条件 26

6.3.3　全微分在近似计算中的应用 30

习题6.3 30

6.4　复合函数的求导 31

6.4.1　复合函数的一阶偏导数的计算 31

6.4.2　复合函数的二阶偏导数的计算 38

6.4.3　全微分形式的不变性 40

习题6.4 41

6.5　隐函数求导 43

6.5.1　由一个方程确定的隐函数的求导 43

6.5.2　由方程组确定的隐函数组的求导 47

习题6.5 49

6.6　多元函数微分学的几何应用 50

6.6.1　空间曲线的切线方程和法平面方程 50

6.6.2　空间曲面的切平面与法线 52

习题6.6 57

6.7　方向导数与数量场的梯度 58

6.7.1　场的概念 58

6.7.2　方向导数和梯度 64

6.7.3　梯度的物理意义和几何意义 65

6.7.4　梯度的运算性质 66

习题6.7 69

6.8　多元函数的Taylor公式与极值 70

6.8.1　多元函数的Taylor公式 70

6.8.2　多元函数的极值 73

6.8.3　函数的最大值与最小值 76

6.8.4　条件极值与Lagrange乘数法 78

6.8.5　最小二乘法 82

习题6.8 85

第6章综合练习题 86

第7章　解析函数与共形映射 89

7.1　复数与复变函数 89

7.1.1　复数 89

7.1.2　复平面区域 92

7.1.3　复球面　扩充复平面 94

7.1.4　复变函数 95

7.1.5　复变函数的极限与连续 97

习题7.1 100

7.2　解析函数 101

7.2.1　复变函数的导数和微分　Cauchy-Riemann方程 101

7.2.2　解析函数 105

习题7.2 107

7.3　初等解析函数 108

7.3.1　指数函数 108

7.3.2　三角函数和双曲函数 109

7.3.3　对数函数 111

7.3.4　乘幂ab和幂函数 113

7.3.5 反三角函数和反双曲函数 114

习题7.3 115

7.4　共形映射 116

7.4.1　解析函数导数的几何意义 116

7.4.2　共形映射的概念及若干基本定理 119

习题7.4 122

7.5　分式线性映射 123

7.5.1　分式线性映射 123

7.5.2　分式线性映射的性质 125

习题7.5 134

7.6　若干初等函数的共形映射 134

7.6.1　幂函数的映射 134

7.6.2　指数函数和对数函数的映射 141

7.6.3　茹科夫斯基函数 146

习题7.6 148

第7章　综合练习题 150

第8章　第一型积分 152

8.1　第一型积分的概念和性质 152

8.1.1　质量分布模型和第一型积分 152

8.1.2　第一型积分的性质 154

8.1.3　向量函数的第一型积分 156

习题8.1 156

8.2　重积分在直角坐标系下的表示和计算 157

8.2.1　二重积分在直角坐标系下的表示和计算 157

8.2.2　三重积分在直角坐标系下的表示和计算 164

习题8.2 170

8.3　利用极坐标、柱坐标和球坐标计算重积分 171

8.3.1　重积分的换元积分法 171

8.3.2　利用极坐标计算二重积分 175

8.3.3　利用柱坐标计算三重积分 179

8.3.4　利用球坐标计算三重积分 180

习题8.3 183

8.4　第一型曲线积分和曲面积分 185

8.4.1　第一型曲线积分 185

8.4.2　第一型曲面积分 189

习题8.4 196

8.5　第一型积分的应用 197

8.5.1　第一型积分的几何应用 197

8.5.2　质量、矩、重心和转动惯量 201

8.5.3　引力 205

习题8.5 207

第8章　综合练习题 208

第9章　第二型曲线积分与复变函数积分 211

9.1　第二型曲线积分 211

9.1.1　第二型曲线积分的概念 211

9.1.2　第二型曲线积分的性质 213

9.1.3　第二型曲线积分的计算 214

9.1.4　第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系 217

习题9.1 218

9.2　Green公式 220

9.2.1　Green公式 220

9.2.2　平面曲线积分与路径无关的条件 226

9.2.3　全微分方程 231

习题9.2 231

9.3　复变函数的积分　Cauchy积分定理 233

9.3.1　复变函数积分的概念 233

9.3.2　复变函数积分的性质 235

9.3.3　Cauchy积分定理 235

9.3.4　原函数与不定积分 238

习题9.3 241

9.4　Cauchy积分公式 242

9.4.1　Cauchy积分公式 242

9.4.2　Cauchy型积分与解析函数的无限次可微性 244

9.4.3　解析函数与调和函数的关系 247

习题9.4 251

第9章　综合练习题 252

第10章　第二型曲面积分与场论 255

10.1　第二型曲面积分 255

10.1.1　第二型曲面积分的概念与性质　通量 255

10.1.2　第二型曲面积分的计算 259

习题10.1 265

10.2　Gauss公式与散度 266

10.2.1　Gauss公式 266

10.2.2　散度 271

10.2.3　外微分形式简介 274

习题10.2 280

10.3　Stokes公式与旋度 281

10.3.1　Stokes公式 281

10.3.2　旋度 285

10.3.3　旋度的运算性质 287

10.3.4　Hamilton算子▽ 289

习题10.3 293

10.4　特殊场 294

10.4.1　空间曲线积分与路径无关的等价条件 294

10.4.2　几种重要的特殊场 296

10.4.3　平面向量场与复势 301

习题10.4 305

10.5　场在正交曲线坐标系下的表示 306

10.5.1　正交曲线坐标Lame系数 306

10.5.2　基变换与坐标变换 309

10.5.3　算子▽与场在正交曲线坐标系下的表示 312

习题10.5 318

第10章　综合练习题 320

部分习题参考答案 322

参考文献 338

附录　区域的共形映射表 339

索引 343