线性代数

第一章 行列式 1

第一节 二阶与三阶行列式 2

一、二元线性方程组与二阶行列式 2

二、三元线性方程组与三阶行列式 3

第二节n阶行列式 4

一、全排列及其逆序数 4

二、对换 5

三、n阶行列式 6

第三节 行列式的性质 8

一、行列式的性质 8

二、行列式性质的应用 11

第四节 行列式按行（列）展开 13

一、行列式按行（列）展开定理 13

二、行列式按行（列）展开定理的计算 14

三、行列式按行（列）展开定理的推广 16

第五节 克拉默法则 17

第六节 数学实验1： MATLAB简介及行列式计算 20

一、MATLAB简介 20

二、行列式的计算 21

本章小结 22

习题一 23

第二章 矩阵 28

第一节 矩阵的概念 29

一、矩阵的定义 29

二、几种特殊的矩阵 31

第二节 矩阵的运算 32

一、矩阵的线性运算 32

二、矩阵与矩阵乘法 33

三、矩阵的方幂 36

四、矩阵的转置 37

五、方阵的行列式 38

第三节 矩阵的初等变换和初等矩阵 39

一、矩阵的初等变换 39

二、初等矩阵 40

第四节 逆矩阵 41

一、逆矩阵的概念 41

二、逆矩阵的求法 41

第五节 分块矩阵 45

一、分块矩阵及其运算法则 45

二、特殊的分块矩阵 48

第六节 矩阵的秩 50

一、矩阵秩的定义 50

二、矩阵秩的求法 51

第七节 数学实验2：矩阵的运算 52

一、矩阵的输入 52

二、常用矩阵的生成 53

三、运算符 53

四、实例 54

本章小结 56

习题二 57

第三章n维向量 61

第一节n维向量及其线性运算 62

一、n维向量的概念 62

二、n维向量的线性运算 63

第二节 向量组的线性相关性 64

一、向量组的线性组合 64

二、向量组的等价 65

三、向量组的线性相关性 67

四、向量组线性相关性的判定 67

五、向量组线性相关性的性质 69

第三节 向量组的秩 70

第四节 向量空间 73

一、向量空间的概念 73

二、向量空间的基 74

三、基变换与坐标变换 75

第五节 向量的内积、长度及正交性 77

一、向量的内积和长度 77

二、向量的正交 77

三、标准正交基 78

四、正交矩阵 80

第六节 数学实验3：向量组的秩与线性相关性 81

一、运算符 81

二、实例 81

本章小结 84

习题三 86

第四章 线性方程组 92

第一节 线性方程组解的存在条件 93

一、线性方程组解的基本概念 93

二、解线性方程组 94

三、线性方程组解的判定定理 97

第二节 齐次线性方程组解的结构 102

一、齐次线性方程组解的判定条件 102

二、齐次线性方程组解的性质 103

三、齐次线性方程组的基础解系 103

第三节 非齐次线性方程组解的结构 107

一、非齐次线性方程组解的性质 107

二、非齐次线性方程组解的结构 107

第四节 数学实验4：线性方程组的求解 109

一、运算符 109

二、实例 109

本章小结 112

习题四 114

第五章 矩阵的特征值及相似矩阵 119

第一节 矩阵的特征值与特征向量 120

一、矩阵的特征值与特征向量的概念 120

二、矩阵的特征值与特征向量的求法 120

三、特征值与特征向量的性质 122

第二节 相似矩阵及其对角化 124

一、相似矩阵及其性质 124

二、相似矩阵的对角化 125

第三节 实对称矩阵的对角化 126

一、实对称矩阵的性质 127

二、实对称矩阵对角化的方法 127

第四节 数学实验5：特征值与特征向量的求法 130

一、运算符 130

二、实例 130

本章小结 132

习题五 133

第六章 二次型 136

第一节 二次型及其矩阵表示 137

一、二次型的概念 137

二、二次型的表示 137

三、二次型的标准形与规范形 138

第二节 化二次型为标准形 139

一、合同矩阵 139

二、用正交变换法化二次型为标准形 139

三、用配方法化二次型为标准形 141

第三节 正定二次型 141

第四节 数学实验6：二次型的运算 143

一、运算符 143

二、实例 143

本章小结 144

习题六 145

习题答案与提示 147

附录 硕士研究生入学考试试题及参考答案（线性代数部分） 156

Ⅰ概述 156

Ⅱ试题精选 157

一、选择题 157

二、填空题 159

三、解答题 160

四、证明题 161

参考文献 165