高等数学 方法与口诀

第1章 函数 1

1.1 函数的三要素 1

1.2 复合函数 2

1.3 反函数 3

1.4 采用一些特别的教学元素 4

1.5 初等函数 6

第2章 极限 8

2.1 数列（函数）的极限 8

2.2 极限的运算规则 10

2.3 小邻域定理 12

2.4 常用的等价无穷小 14

2.5 将极限的形象化定义升级 18

2.6 极限性质的严格证明 25

第3章 连续 31

3.1 函数的连续性 31

3.2 闭区间上连续函数的性质 35

第4章 导数与微分 37

4.1 导数的定义 37

4.2 导数的运算法则 39

4.3 高阶导数 43

4.4 微分 44

第5章 中值定理及导数的应用 49

5.1 中值定理 49

5.2 洛必达法则 50

5.3 函数曲线的性状 54

第6章 不定积分 61

6.1 探求逆运算 61

6.2 不定积分的定义、性质 62

6.3 凑微分法 64

6.4 第二类换元法——“去根号” 66

6.5 分部积分法 67

第7章 定积分 71

7.1 定积分的概念和性质 71

7.2 微积分的基本定理 75

7.3 定积分的换元法 76

7.4 广义积分 78

第8章 定积分的应用 82

8.1 “五步”与“微元法” 82

8.2 平面图形的面积 84

8.3 体积、平面曲线的弧长 85

8.4 变力做功，水压力 87

第9章 空间解析几何与向量代数 90

9.1 平面向量 90

9.2 空间向量 93

9.3 平面与直线方程 96

9.4 二次曲面 100

第10章 多元函数 104

10.1 平面上的点函数 104

10.2 偏导数 106

10.3 全微分 108

10.4 隐函数存在定理 112

10.5 向量值函数 113

10.6 多元函数的极值 118

第11章 多元函数的积分 125

11.1 基本概念 125

11.2 二重积分 127

11.3 三重积分 135

11.4 重积分的应用 139

11.5 含参变量的积分 143

第12章 曲线积分与曲面积分 149

12.1 本章约定 149

12.2 曲线积分与曲面积分 151

12.3 格林公式 157

12.4 曲线积分与路径无关 160

12.5 曲面积分 162

12.6 高斯（Gauss）公式 166

12.7 斯托克斯公式环流量与旋度 170

第13章 无穷级数 177

13.1 常数项级数的性质 177

13.2 常数项级数的审敛法 179

13.3 函数项级数 184

13.4 函数展开成幂级数 187

13.5 函数项级数的一致收敛性 195

13.6 傅里叶级数 199

第14章 微分方程 210

14.1 微分方程的基本概念 210

14.2 一阶微分方程F（x，y，y'）=0 212

14.3 可降阶的高阶微分方程 216

14.4 二阶线性微分方程 218

14.5 二阶常系数齐次线性微分方程 219

14.6 二阶常系数非齐次线性微分方程 220

14.7 用微分方程求解实际应用问题 224

附录一 换场才能好学好用——对高数教材改革的探讨 231

附录二 若干问题的证明文档 234

附录三 对于积分的深入探讨 243

附录四 对“少学时”教学内容取舍的建议 255

习题提示及参考答案 256

索引 270