高等数学 理工类 上

模块1 函数的概念 1

1.1 集合 1

1.1.1 集合的概念 1

1.1.2 集合的运算 3

1.1.3 实数与数轴 5

1.1.4 区间、邻域 6

1.2 函数 8

1.2.1 函数的概念 8

1.2.2 函数的几种特性 11

1.2.3 复合函数和反函数 13

1.2.4 基本初等函数 15

总习题1 19

模块2 极限与连续 21

2.1 数列的极限 21

2.1.1 数列极限的定义 21

2.1.2 收敛数列的性质 24

习题2.1 25

2.2 函数的极限 26

2.2.1 函数极限的定义 26

2.2.2 函数极限的性质 30

习题2.2 31

2.3 无穷小与无穷大 32

2.3.1 无穷小与无穷大的概念 32

2.3.2 无穷小量的运算性质 34

习题2.3 35

2.4 极限的运算法则 35

习题2.4 39

2.5 极限存在准则两个重要极限 40

2.5.1 极限存在准则 40

2.5.2 两个重要极限 41

习题2.5 45

2.6 无穷小的比较 46

习题2.6 49

2.7 函数的连续性与间断点 50

2.7.1 函数连续的定义 50

2.7.2 函数的间断点 51

2.7.3 连续函数的有关定理 54

习题2.7 56

2.8 闭区间上连续函数的性质 56

习题2.8 57

总习题2 58

模块3 导数与微分 62

3.1 导数概念 62

3.1.1 导数概念的引入 62

3.1.2 导数的定义 64

3.1.3 单侧导数 66

3.1.4 可导与连续的关系 67

3.1.5 用导数定义求导数 69

3.1.6 导数的几何意义 70

3.1.7 导数的实际意义 71

习题3.1 72

3.2 函数的求导法则 72

3.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 73

3.2.2 反函数求导法则 75

3.2.3 复合函数求导法则 76

3.2.4 基本初等函数导数公式 79

习题3.2 79

3.3 高阶导数 81

3.3.1 高阶导数的概念 81

3.3.2 莱布尼茨公式 82

习题3.3 83

3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 84

3.4.1 隐函数的导数 84

3.4.2 对数求导法 86

3.4.3 参数方程求导 87

3.4.4 相关变化率 89

习题3.4 90

3.5 微分 91

3.5.1 微分的定义 91

3.5.2 微分的几何意义 93

3.5.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 93

3.5.4 一阶微分形式不变性 95

3.5.5 微分在近似计算中的应用 96

习题3.5 97

总习题3 97

模块4 中值定理与导数应用 102

4.1 中值定理 102

4.1.1 罗尔定理 102

4.1.2 拉格朗日中值定理 104

4.1.3 柯西中值定理 106

4.1.4 中值定理的初步应用 107

习题4.1 108

4.2 洛必达法则 109

4.2.1 0/0型及∞∞∞型 109

4.2.2 0·∞及∞－∞型 112

4.2.3 1∞，00及∞0型 113

习题4.2 114

4.3 泰勒公式 114

习题4.3 118

4.4 函数的单调性与极值 118

4.4.1 函数单调性的判别法 118

4.4.2 函数的极值及其求法 121

习题4.4 126

4.5 函数的最大值和最小值 126

习题4.5 129

4.6 函数的凹凸性与拐点 130

习题4.6 132

4.7 函数图形的描绘 132

4.7.1 曲线的渐近线 132

4.7.2 函数图形的作法 134

习题4.7 136

4.8 曲率 136

4.8.1 弧微分 136

4.8.2 曲率及其计算公式 137

习题4.8 140

总习题4 140

模块5 不定积分 143

5.1 不定积分的概念和性质 143

5.1.1 原函数与不定积分的概念 143

5.1.2 不定积分的几何意义 145

5.1.3 不定积分的性质 145

5.1.4 基本积分表 146

习题5.1 149

5.2 换元积分法 150

5.2.1 第一类换元积分法 150

5.2.2 第二类换元积分法 156

习题5.2 160

5.3 分部积分法 162

习题5.3 166

5.4 几类特殊函数的积分 167

5.4.1 有理函数的积分 167

5.4.2 三角函数有理式的积分 168

5.4.3 简单无理函数的积分 169

习题5.4 171

总习题5 172

模块6 定积分 175

6.1 定积分的概念与性质 175

6.1.1 定积分问题实例 175

6.1.2 定积分的定义 177

6.1.3 定积分的性质 179

习题6.1 181

6.2 微积分基本公式 182

6.2.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 182

6.2.2 积分上限的函数及其导数 182

6.2.3 微积分基本公式 184

习题6.2 186

6.3 定积分的换元法和分部积分法 187

6.3.1 定积分的换元法 187

6.3.2 定积分的分部积分法 190

习题6.3 192

6.4 定积分的近似计算 192

6.4.1 矩形法 193

6.4.2 梯形法 193

6.4.3 抛物线法 194

习题6.4 195

6.5 反常积分与Г函数 195

6.5.1 无限区间上的反常积分 195

6.5.2 无界函数的反常积分 197

6.5.3 Γ-函数 199

总习题6 200

模块7 定积分的应用 204

7.1 平面图形的面积 204

7.1.1 微元法 204

7.1.2 平面图形的面积 206

习题7.1 209

7.2 体积 209

7.2.1 曲边梯形D＝｛（x，y）｜a≤x≤b，0≤y≤f（x）｝绕x轴旋转所得立体的体积 210

7.2.2 曲边梯形D＝｛（x，y）｜c≤y≤d，0≤x≤g（y）｝绕y轴旋转所得立体的体积 210

7.2.3 平行截面面积已知的立体的体积 211

习题7.2 212

7.3 平面曲线的弧长 212

习题7.3 214

7.4 定积分在物理中的应用 214

7.4.1 变力沿直线所做的功 214

7.4.2 水压力 216

7.4.3 引力 217

习题7.4 218

总习题7 218

参考文献 220