微积分中的图形解析

1 函数 1

1.1 线性函数 1

1.2 函数y=f（x）图形的左右平移 2

1.3 函数y=f（x）图形的上下移动 2

1.4 函数y=f（x）图形的压缩、拉伸变换 3

1.5 已知函数y=f（x）的图形，试作函数y=｜f（x）｜的图形 4

1.6 已知函数y=f（x），y=g（x）的图形，试作函数y=F（x）=f（x）±g（x）的图形 5

1.7 已知函数y=f（x）的图形，试作函数y=f（1/x）的图形 8

1.8 已知函数y=f（x）的图形，试作y=1/f（x）的图形 10

1.9 隐函数F（x,y）=0的图形 12

1.10 符号函数sgn x及其相关函数的图形 14

1.11 欧拉（Euler）曲线与笛卡尔（Descartes）叶形线的图形 16

1.11.1 欧拉曲线 16

1.11.2 笛卡尔叶形线 18

1.12 画不出函数图形的狄利克雷（Dirichlet）函数和黎曼（Riemann）函数 20

1.12.1 狄利克雷函数 20

1.12.2 黎曼函数 21

2 极限 23

2.1 由极限定义的函数的图形 23

2.2 两个重要极限的相关函数的图形 25

2.2.1 重要极限一 25

2.2.2 重要极限二 27

2.3 渐近线、渐近近似曲线 29

2.3.1 直角坐标系中的渐近线 29

2.3.2 渐近近似曲线 33

2.4 极坐标系中曲线的渐近线与渐近圆 35

2.4.1 极坐标系中曲线的渐近线 35

2.4.2 极坐标系中曲线的渐近圆 41

3 连续 42

3.1 函数y=f（x）在x=x0处连续的定义 42

3.2 函数y=f（x）在点x=x0处间断及间断点分类与示例 43

3.3 特殊函数的连续与间断 45

4 导数与微分 48

4.1 微分三角形与曲线图形的特性 48

4.1.1 函数y=f（x）为凹向、增函数的微分三角形 48

4.1.2 函数y=f（x）为凸向、减函数的微分三角形 50

4.2 函数y=f（x）的图形上切线和法线的有关线段 51

4.2.1 直角坐标系中的情形 51

4.2.2 极坐标系中的情形 52

4.3 曲线的切线导出曲线 58

4.4 曲线的密切圆与曲率圆 61

4.4.1 曲线的密切圆 61

4.4.2 曲线的曲率图 65

4.5 曲线族的包络线 73

4.5.1 曲线族 73

4.5.2 包络线 74

4.6 抛物线y=a+bx+cx2的切线作图法 79

4.7 图解微分（求导）法 82

4.8 处处连续却处处不可导的函数曲线特征 85

5 二元函数 89

5.1 二元函数z=f（x,y）的三维图形 89

5.1.1 空间曲面方程与曲面形态及其在三维坐标系中的位置关系 89

5.1.2 二次曲面的形态的识别 94

5.1.3 曲面z=f（x,y）与平面x=x0及平面y=y0的截交线 98

5.1.4 曲面z=f（x,y）与平面z=z0的截交线：等高线（层线） 100

5.1.5 二元函数z=f（x,y）的曲面图（地形图） 102

5.1.6 坐标变换下的曲面图 105

5.2 二元函数的极限 109

5.2.1 二元函数的二重极限 109

5.2.2 二元函数的累次极限 110

5.2.3 二重极限与二次极限的关系 111

5.3 二元函数的连续性 114

5.4 二元函数的增量、偏导数与全微分 116

5.4.1 二元函数的增量 116

5.4.2 二元函数的偏导数与偏微分 117

5.5 二元函数z=f（x,y）的方向导数与梯度 119

5.5.1 二元函数z=f（x,y）的方向导数 119

5.5.2 二元函数z=f（x,y）的梯度 124

5.6 二元函数z=f（x,y）在点（x0,y0）处有极值的必要条件与充分条件 126

5.6.1 二元函数z=f（x,y）的极值的定义 126

5.6.2 二元函数z=f（x,y）在点（x0,y0）产生极值的必要条件 127

5.6.3 二元函数z=f（x,y）在点（x0,y0）产生极值的充分条件 129

6 积分 132

6.1 平面图形的面积的概念 132

6.2 平面曲边图形的面积看作极限 133

6.3 曲边四边形的面积作为和式的极限——表达为定积分 136

6.4 变动的曲边四边形面积是曲边y=f（x）的原函数 140

6.5 微分中值定理与积分中值定理的联系 142

6.6 图解积分法 143

参考书目 150