高等数学 上

第一章 函数与极限 1

第一节 函数基本概念 2

一、邻域 2

二、函数的概念 2

三、函数的几种特性 4

四、反函数与复合函数 7

五、基本初等函数与初等函数 9

习题1.1 12

第二节 数列极限 13

一、数列极限的概念 13

二、数列极限的性质 17

习题1.2 19

第三节 函数极限 20

一、函数极限的概念 20

二、函数极限的性质 24

三、函数极限的计算 25

习题1.3 29

第四节 两个重要极限 30

一、夹逼准则 第一重要极限 30

二、单调有界准则 第二重要极限 33

习题1.4 35

第五节 函数极限的进一步讨论 35

一、无穷小 35

二、无穷大 37

三、无穷小的比较 39

习题1.5 42

第六节 函数的连续性 43

一、函数连续的定义 43

二、函数的间断点 46

三、连续函数的有关定理 47

四、闭区间上连续函数的性质 50

习题1.6 52

总习题一 53

自测题一 54

第二章 一元函数微分学及应用 57

第一节 导数的基本概念 58

一、导数的引入 58

二、导数的定义 59

三、导数的几何意义 61

四、导数的四则运算 62

习题2.1 63

第二节 导数的运算 64

一、反函数的导数 64

二、复合函数的导数 65

三、隐函数的导数 68

习题2.2 70

第三节 函数的微分 70

一、微分的定义 70

二、微分公式和运算 72

三、参数方程所确定的函数的导数 74

四、微分在近似计算中的应用 75

习题2.3 76

第四节 高阶导数和高阶微分 77

一、高阶导数 77

二、高阶微分 81

习题2.4 81

第五节 微分学基本定理 82

一、基本定理 82

二、洛必达法则 86

习题2.5 89

第六节 泰勒（Taylor）公式 90

习题2.6 94

第七节 函数图形 95

一、曲线的极值与单调性 95

二、曲线的凹凸性与拐点 98

三、曲线的渐近线 100

习题2.7 102

第八节 方程的近似解 103

一、二分法 104

二、切线法 105

习题2.8 106

总习题二 107

自测题二 108

第三章 一元函数积分学及应用 111

第一节 不定积分 112

一、原函数与不定积分的概念 112

二、不定积分的性质 114

三、基本积分公式 114

习题3.1 116

第二节 不定积分的计算 117

一、换元积分法 117

二、分部积分法 126

三、有理函数的积分 130

习题3.2 138

第三节 定积分 140

一、定积分问题举例 140

二、定积分的定义及性质 142

三、定积分的几何意义 145

四、定积分的计算方法 146

习题3.3 153

第四节 定积分的应用 155

一、定积分的元素法 155

二、定积分在几何学中的应用 156

三、定积分在物理中的应用 166

习题3.4 168

第五节 反常积分 169

一、无穷区间上的反常积分 169

二、无界函数的反常积分 171

三、反常积分的审敛法Γ函数 173

习题3.5 178

总习题三 179

自测题三 181

第四章 微分方程 185

第一节 一阶微分方程 186

一、微分方程的基本概念 186

二、可分离变量方程 188

三、齐次方程 190

四、一阶线性微分方程 192

五、伯努利方程 195

习题4.1 196

第二节 可降阶的微分方程 197

一、y(n)=f（x）型的微分方程 197

二、y″＝f（x,y′）型的微分方程 198

三、y″＝f（y,y′）型的微分方程 199

习题4.2 201

第三节 二阶常系数线性微分方程 201

一、齐次线性微分方程解的结构 201

二、非齐次线性微分方程解的结构 202

三、二阶常系数齐次线性微分方程 203

四、二阶常系数非齐次线性微分方程 205

习题4.3 208

第四节 微分方程的应用 208

一、一阶微分方程的应用 209

二、二阶微分方程的应用 212

习题4.4 213

总习题四 214

自测题四 215

附录Ⅰ 积分表 217

附录Ⅱ 希腊字母表 229

参考文献 231