应用微积分

第一章 函数 1

1.1 函数的概念 1

1.1.1 函数的定义 1

1.1.2 函数的图像 3

1.1.3 函数的表示 3

1.1.4 函数的基本性质 4

1.1.5 基本初等函数 5

1.1.6 复合函数与初等函数 5

1.1.7 反函数 6

1.1.8 分段函数 7

1.2 常用的经济函数 7

1.2.1 需求函数与价格函数 8

1.2.2 供给函数 8

1.2.3 市场均衡 8

1.2.4 收益函数 9

1.2.5 成本函数 9

1.2.6 利润函数 9

1.2.7 盈亏平衡点 10

1.3 利息问题 10

1.3.1 单利与复利 10

1.3.2 现值问题 11

习题1 14

第二章 极限与连续 16

2.1 微积分的创立 16

2.1.1 半个世纪的酝酿 16

2.1.2 牛顿和他的流数术 19

2.1.3 莱布尼茨的微积分 21

2.1.4 微积分优先权之争 22

2.1.5 微积分理论的严格化 23

2.2 数列的极限 23

2.2.1 数列极限的定义 23

2.2.2 数列极限的运算法则 26

2.2.3 数列极限的几何意义和精确的数学形式语言定义 28

2.2.4 收敛数列的性质 28

2.3 微积分方法及应用 29

2.3.1 微积分方法 29

2.3.2 微积分方法应用 31

2.4 函数极限 37

2.4.1 函数极限的定义 38

2.4.2 函数极限的运算法则 40

2.4.3 两个重要极限 42

2.4.4 经济中的极限问题 45

2.4.5 分段函数的极限 46

2.4.6 函数极限的ε—δ定义和性质 47

2.5 无穷小量与无穷大量 48

2.5.1 无穷小量 48

2.5.2 无穷小量的比较 49

2.5.3 常用的等价无穷小量 50

2.5.4 无穷大量 50

2.6 函数的连续性 51

2.6.1 函数的连续性概念 51

2.6.2 间断点及其分类 53

2.6.3 闭区间上连续函数的性质 55

习题2 56

第三章 导数与微分 59

3.1 导数的定义 59

3.1.1 问题引入 59

3.1.2 导数的定义 60

3.1.3 可导与连续的关系 61

3.1.4 导数在实际应用中的意义 61

3.2 导数的计算和求导法则 62

3.2.1 用定义计算导数 62

3.2.2 导数的运算法则 64

3.2.3 复合函数的求导法则 65

3.2.4 基本初等函数的导数公式 67

3.2.5 隐函数的导数 68

3.3 导数的应用 68

3.3.1 求曲线的斜率 69

3.3.2 物体运动速度和加速度 69

3.3.3 相关变化率 70

3.3.4 导数在经济中的应用 71

3.4 高阶导数 76

3.4.1 二阶导数 76

3.4.2 n阶导数 76

3.5 分段函数的导数 76

3.6 微分 77

3.6.1 微分概念 77

3.6.2 微分的几何意义 80

3.6.3 微分的运算法则 80

3.6.4 微分的应用 81

习题3 83

第四章 微分中值定理与导数的应用 86

4.1 微分中值定理 86

4.1.1 极值点与极值 86

4.1.2 微分中值定理 87

4.2 导数的应用 89

4.2.1 洛必达法则 89

4.2.2 函数的单调性与极值 92

4.2.3 最值问题及其应用 94

4.3 曲线的凹向与拐点与函数作图 97

4.3.1 曲线的凹向与拐点 97

4.3.2 函数作图 99

习题4 101

第五章 不定积分与常微分方程 103

5.1 不定积分 103

5.1.1 原函数 104

5.1.2 不定积分的定义 104

5.1.3 基本积分表 105

5.1.4 不定积分的性质 106

5.1.5 换元积分法 107

5.1.6 分部积分法 111

5.2 常微分方程 112

5.2.1 基本概念 112

5.2.2 一阶常微分方程 114

5.2.3 二阶常微分方程 121

习题5 124

第六章 定积分 128

6.1 定积分的概念 128

6.1.1 问题的引入 128

6.1.2 定积分的定义 132

6.2 定积分的应用 134

6.2.1 定积分的应用 134

6.2.2 微元法 136

6.3 定积分的性质与计算 139

6.3.1 定积分的性质 139

6.3.2 积分上限函数 139

6.3.3 定积分的计算 141

习题6 143

第七章 无穷级数 145

7.1 无穷级数的概念与性质 145

7.1.1 问题的引入 145

7.1.2 常数项级数的概念与性质 145

7.2 正项级数 148

7.3 绝对收敛与条件收敛 152

7.3.1 交错级数 152

7.3.2 绝对收敛 153

7.3.3 条件收敛 154

7.4 幂级数 154

7.4.1 函数项级数的一般概念 154

7.4.2 幂级数的收敛半径与收敛域 155

7.4.3 幂级数的运算 157

7.5 函数的幂级数展开 160

7.5.1 泰勒级数 160

7.5.2 函数的麦克劳林展开式在近似计算中的应用 162

习题7 164

第八章 多元微积分简介 166

8.1 多元函数微分 166

8.1.1 多元函数的概念 166

8.1.2 二元函数的定义域 166

8.1.3 二元函数的图像 167

8.1.4 二元函数的极限与连续 167

8.1.5 多元函数的偏导数 169

8.1.6 二元函数的全微分 171

8.1.7 复合函数求导法则 172

8.1.8 隐函数求导 173

8.1.9 二元函数的极值与最值 173

8.1.10 条件极值与拉格朗日乘数法 175

8.1.11 最小二乘法 177

8.2 多元函数积分 178

8.2.1 二重积分 178

习题8 184

第九章 差分与差分方程简介 187

9.1 差分的概念与性质 187

9.2 差分方程 188

9.2.1 差分方程的概念 188

9.2.2 一阶常系数线性差分方程 189

9.2.3 一阶常系数线性非齐次差分方程 190

9.3 二阶常系数线性差分方程 192

9.3.1 二阶常系数线性齐次差分方程 192

9.3.2 二阶常系数线性非齐次差分方程 194

习题9 195

参考文献 196