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第六章 多元函数积分学 1

6.1 二重积分 1

一、二重积分的定义 1

二、二重积分的性质 3

三、含参变量的定积分 5

四、二重积分的计算（累次积分法） 6

五、二重积分的计算（换元积分法） 9

习题6.1 13

6.2　三重积分 15

一、三重积分的定义与性质 15

二、三重积分的计算（累次积分法） 16

三、三重积分的计算（换元积分法） 20

习题6.2 24

6.3　重积分的应用 25

一、立体的体积 25

二、曲面的面积 27

三、质心 28

习题6.3 29

6.4 曲线积分 30

一、空间曲线的弧长 30

二、第一型曲线积分 31

三、第二型曲线积分 35

习题6.4 39

6.5　曲面积分 41

一、第一型曲面积分 41

二、双侧曲面 44

三、第二型曲面积分 46

习题6.5 52

6.6　格林公式·斯托克斯公式·高斯公式 53

一、格林公式 53

二、斯托克斯公式 58

三、高斯公式 61

习题6.6 64

6.7　场论初步 65

一、哈密顿算子 66

二、散度 67

三、旋度 67

四、无旋场·势函数 68

习题6.7 69

第七章　级数 71

7.1　数项级数 71

一、级数的基本概念 71

二、正项级数 73

三、任意项级数 78

习题7.1 81

7.2　幂级数 83

一、幂级数的收敛半径与收敛域 83

二、幂级数的性质 87

三、初等函数的幂级数展开式 89

四、幂级数的和函数 92

习题7.2 95

7.3　傅里叶级数 96

一、傅里叶系数与傅里叶级数 96

二、狄利克雷收敛定理 98

三、△函数在［-l,l］上的傅里叶级数 101

四、正弦级数与余弦级数 102

习题7.3 104

第八章　微分方程 105

8.1　微分方程基本概念 105

习题8.1 108

8.2　一阶微分方程 108

一、解的存在与惟一性 109

二、变量可分离的微分方程 110

三、齐次微分方程 111

四、一阶线性微分方程 112

五、全微分方程 114

六、解微分方程的变量代换法 116

习题8.2 119

8.3　二阶微分方程 120

一、可降阶的二阶方程 121

二、二阶线性方程解的性质 123

三、二阶常系数线性方程 125

四、特殊的二阶变系数线性方程·欧拉方程 132

习题8.3 135

8.4　高于二阶的微分方程 136

一、方程y(n)=f(x)(n≥3) 136

二、方程F(x,y(k),y(k+1),...,y(n))=0 137

三、高阶线性方程解的性质 137

四、高阶常系数线性齐次方程 138

习题8.4 139

8.5　微分方程的应用 140

一、一阶微分方程的应用 140

二、二阶微分方程的应用 143

习题8.5 145

8.6　△微分方程的数值解 146

一、欧拉方法 146

二、霍恩方法 147

三、龙格—库塔方法 148

第九章　线性代数 150

9.1　行列式 150

一、n阶行列式的定义 150

二、行列式的性质 153

三、行列式的计算 157

习题9.1 160

9.2 矩阵 162

一、矩阵概念 162

二、矩阵的运算 164

三、可逆矩阵 169

四、矩阵的初等变换 174

五、矩阵的秩 182

六、分块矩阵 184

习题9.2 189

9.3 向量 192

一、向量组的线性相关性 192

二、向量组间的关系 199

三、向量组的秩与矩阵的秩 200

四、向量空间 203

五、规范正交基·施密特正交规范化方法 208

六、正交矩阵·正交变换 210

习题9.3 213

9.4　线性方程组 215

一、高斯消元法 216

二、线性方程组解的性质 218

三、线性方程组无解、有惟一解与有无穷多解的判定 218

四、线性方程组解的结构 223

习题9.4 229

9.5　矩阵的对角化 232

一、特征值与特征向量 232

二、相似变换·相似矩阵 237

三、矩阵的对角化 239

四、实对称矩阵的对角化 244

习题9.5 246

9.6 二次型 248

一、二次型的矩阵表示 248

二、合同变换·合同矩阵 249

三、二次型的标准形与规范形 251

四、化二次型为标准形 255

五、正定二次型 259

六、△二次曲面方程的化简 261

习题9.6 266

9.7　△线性空间与线性变换 267

一、线性空间的定义 267

二、线性空间的基与维数 269

三、线性变换 272

习题9.7 275

习题答案与提示 277