应用偏微分方程

第一章　一阶偏微分方程 1

1.1 基本概念 1

1.1.1　偏微分方程 1

1.1.2　定解条件与定解问题 2

1.2　一阶线性偏微分方程 4

1.2.1　齐次线性偏微分方程 4

1.2.2 齐次线性偏微分方程的Cauchy问题 8

1.2.3　一般非齐次线性偏微分方程 10

1.3　一阶拟线性偏微分方程 10

1.3.1 含两个自变量的一阶拟线性偏微分方程 10

1.3.2　含n个自变量的一阶拟线性偏微分方程 13

1.3.3　一阶拟线性偏微分方程的Cauchy问题 14

1.4　一阶线性偏微分方程模型 16

1.4.1　带年龄结构的人口发展模型 16

1.4.2　传染病动力学的偏微分方程模型 23

习题一 30

第二章　二阶偏微分方程模型与分类 32

2.1 三种传统的二阶偏微分方程模型 32

2.1.1　弦振动方程 32

2.1.2　热传导方程 34

2.1.3　调和（位势）方程 36

2.2　其他二阶偏微分方程模型 36

2.3　定解问题及解的适定性 39

2.4　二阶线性偏微分方程的分类 41

2.4.1 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类 41

2.4.2　两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简 42

2.4.3　多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类 46

2.5　叠加原理和齐次化原理 47

习题二 49

第三章　行波法 51

3.1 一维波动方程的Cauchy问题 51

3.1.1 D′Alembert公式 51

3.1.2　半无界弦的振动问题（延拓法） 55

3.2　高维波动方程的Cauchy问题 57

3.2.1　球对称解 57

3.2.2 Poisson公式 58

3.2.3　二维波动方程与降维法 62

习题三 63

第四章　分离变量法 65

4.1 齐次方程和齐次边界条件的分离变量法 65

4.1.1 有界弦的自由振动问题 65

4.1.2　有限杆的热传导问题 69

4.1.3 Laplace方程的边值问题 71

4.1.4　矩形薄板的热传导问题 72

4.2 Strurm-Liouville理论 74

4.2.1　S-L本征值问题 74

4.2.2　S-L本征值问题的应用 77

4.3　非齐次定解问题的分离变量法 79

4.3.1　非齐次方程的本征函数法 79

4.3.2　非齐次边界条件的齐次化 81

4.3.3　稳定的非齐次问题的齐次化 84

4.3.4　一些特例 84

习题四 90

第五章　积分变换法 93

5.1　Fourier变换及应用 93

5.1.1　Fourier变换 93

5.1.2　Fourier变换的应用 95

5.2　Laplace变换及应用 99

5.2.1　Laplace变换 99

5.2.2　Laplace变换的应用 102

习题五 104

第六章　偏微分方程其他解法 106

6.1 Green函数法 106

6.1.1 调和函数与Green公式 106

6.1.2　Green函数及其应用 111

6.2　数值解法 115

6.2.1　差分法 115

6.2.2　变分法简介 119

6.2.3　有限元法简介 120

习题六 122

第七章　极值原理与最大模估计 124

7.1　波动方程混合问题的适定性 124

7.1.1　能量守恒与解的唯一性 124

7.1.2　能量不等式与稳定性 126

7.2　热传导方程的极值原理与最大模估计 128

7.2.1　弱极值原理 128

7.2.2　解的最大模估计 129

7.3　Poisson方程的极值原理与解的适定性 131

7.3.1　极值原理 131

7.3.2　最大模估计 134

习题七 136

第八章　非线性偏微分方程 137

8.1　一阶非线性偏微分方程 137

8.1.1　含两个自变量的一阶非线性偏微分方程 137

8.1.2　含n个自变量的一阶非线性偏微分方程 141

8.1.3　一阶偏微分方程组 144

8.2　一阶非线性偏微分方程模型 148

8.2.1　追赶模型 148

8.2.2　交通流模型 150

8.2.3　人口模型 151

8.2.4　森林模型 152

8.3　其他非线性偏微分方程模型 157

8.3.1 KdV方程 158

8.3.2　反应—扩散方程 161

习题八 164

附录 166

习题参考答案与提示 170

参考文献 173