高等数学

第一章　函数、极限与连续 1

第一节　函数及其性质 1

一、函数的概念 1

二、函数的几种特性 3

三、反函数 5

四、初等函数 5

习题1-1 6

第二节　极限 7

一、数列的极限 7

二、函数的极限 9

三、极限的性质 13

习题1-2 14

第三节　无穷小量与无穷大量 14

一、无穷小量 14

二、无穷大量 16

三、无穷大量与无穷小量的关系 16

习题1-3 16

第四节　极限的四则运算 17

习题1-4 19

第五节　两个重要极限 20

一、？sinx/x＝1 20

二、？(1+1/x)x=e 21

习题1-5 22

第六节　无穷小量的比较 22

习题1-6 24

第七节　函数的连续性 24

一、函数的连续性与间断点 24

二、连续函数的性质与初等函数的连续性 28

三、闭区间上连续函数的性质 29

习题1-7 30

第二章　导数与微分 32

第一节　导数的概念 32

一、变化率问题举例 32

二、导数的概念 34

三、求导举例 35

四、导数的几何意义 37

五、可导与连续的关系 38

六、变化率模型 39

习题2-1 40

第二节　初等函数的求导法则 40

一、函数的和、差、积、商的求导法则 40

二、复合函数的求导法则 42

三、反函数的求导法则 44

习题2-2 46

第三节　三种特殊的求导方法 47

一、隐函数的求导法则 47

二、对数求导法 48

三、参数式函数的求导法则 48

四、初等函数的导数 49

习题2-3 51

第四节　高阶导数 51

习题2-4 53

第五节　微分及其在近似计算中的应用 54

一、引例 54

二、微分的概念 54

三、微分的几何意义 56

四、微分的运算法则 56

五、微分在近似计算中的应用 58

习题2-5 59

第三章　微分中值定理与导数的应用 60

第一节　微分中值定理 60

一、罗尔（Roller）定理 60

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 61

三、柯西（Cauchy）中值定理 63

习题3-1 64

第二节　洛必达法则 65

一、洛必达（L'Hospital）法则 65

二、其他未定式的极限 66

习题3-2 69

第三节　函数的单调性与极值 69

一、函数单调性的判别法 69

二、函数的极值及其求法 72

三、函数的最大值与最小值 74

习题3-3 76

第四节　函数图形的描绘 76

一、曲线的凹凸性与拐点 77

二、函数图形的描绘 78

习题3-4 80

第五节　曲率 81

一、弧微分 81

二、曲率及其计算公式 81

三、曲率圆与曲率半径 83

习题3-5 84

第四章　不定积分 85

第一节　不定积分的概念和性质 85

一、原函数与不定积分的概念 85

二、基本积分公式 87

三、不定积分的性质 88

习题4-1 89

第二节　换元积分法 90

一、第一换元积分法（凑微分法） 90

二、第二换元积分法（拆微分法） 95

习题4-2 99

第三节　分部积分法 101

习题4-3 103

第四节　简单有理函数的不定积分 104

一、简单有理函数的积分 104

二、三角函数有理式的积分 106

习题4-4 108

第五章　定积分及其应用 109

第一节　定积分的概念与性质 109

一、定积分问题举例 109

二、定积分的定义 111

三、定积分的几何意义 112

四、定积分的性质 113

习题5-1 115

第二节　微积分基本定理 116

一、积分变上限函数及其导数 116

二、牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式 117

习题5-2 119

第三节　定积分的换元积分法与分部积分法 120

一、定积分的换元积分法 120

二、定积分的分部积分法 123

习题5-3 124

第四节　广义积分 125

一、无穷区间上的广义积分 125

二、有限区间上无界函数的广义积分 127

习题5-4 129

第五节　定积分的几何应用 129

一、定积分的元素法（微元法） 129

二、平面图形的面积 130

三、立体的体积 134

四、平面曲线的弧长 137

习题5-5 138

第六节　定积分的物理应用 139

一、变力沿直线所做的功 139

二、液体的压力 141

习题5-6 142

第六章　常微分方程 144

第一节　微分方程的基本概念 144

习题6-1 145

第二节　一阶微分方程 146

一、可分离变量的微分方程 146

二、齐次微分方程 147

三、一阶线性微分方程 148

习题6-2 151

第三节　一阶微分方程应用举例 152

习题6-3 154

第四节　可降阶的高阶微分方程 155

一、y(n)=f(x)型的微分方程 155

二、y″=f(x,y′)型的微分方程 155

三、y″=f(y,y′)型的微分方程 156

习题6-4 157

第五节　二阶常系数线性微分方程 158

一、二阶常系数线性微分方程解的结构 158

二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法 160

三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 161

习题6-5 165

第六节　二阶微分方程应用举例 165

习题6-6 167

第七章　向量代数与空间解析几何 168

第一节　空间直角坐标系与向量的概念 168

一、空间直角坐标系 168

二、空间两点间的距离 169

三、向量及其表示 170

四、向量的线性运算 170

习题7-1 172

第二节　向量的分解与向量的坐标 173

一、向量的分解与向量的坐标 173

二、向量的模与方向余弦的坐标表示 174

三、向量线性运算的坐标表示 175

习题7-2 175

第三节　向量的数量积与向量积 176

一、向量的数量积 176

二、向量的向量积 177

习题7-3 180

第四节　空间平面及其方程 180

一、平面的点法式方程 180

二、平面的一般式方程 182

三、两平面的夹角 183

四、点到平面的距离 184

习题7-4 184

第五节　空间直线及其方程 185

一、直线的点向式方程 185

二、直线的参数方程 186

三、空间直线的一般方程 186

四、两直线的夹角 188

五、直线与平面的夹角 189

习题7-5 190

第六节　常见曲面与空间曲线 191

一、曲面及其方程 191

二、常见的曲面及其方程 192

三、空间曲线及其在坐标面上的投影 197

习题7-6 198

第八章　多元函数微分学 200

第一节　多元函数的概念 200

一、多元函数 200

二、二元函数的极限与连续性 202

习题8-1 204

第二节　偏导数 205

一、偏导数的概念 205

二、高阶偏导数 208

习题8-2 209

第三节　全微分及其应用 209

一、全微分的定义 210

二、全微分在近似计算中的应用 211

习题8-3 212

第四节　多元复合函数微分法及偏导数的几何应用 212

一、复合函数微分法 212

二、隐函数的微分法 215

三、偏导数的几何应用 216

习题8-4 219

第五节　多元函数的极值 220

一、二元函数的极值 220

二、多元函数的最大值与最小值 222

三、条件极值 224

习题8-5 225

第九章　多元函数积分学 226

第一节　二重积分的概念与性质 226

一、二重积分的概念 226

二、二重积分的性质 229

习题9-1 230

第二节　二重积分的计算 230

一、直角坐标系下二重积分的计算 231

习题9-2(a) 235

二、极坐标系下二重积分的计算 236

习题9-2(b) 239

第三节　二重积分的应用 240

一、立体体积和平面图形的面积 240

二、曲面面积 241

三、平面薄片的重心 243

四、平面薄片的转动惯量 244

习题9-3 245

第四节　对坐标的曲线积分 245

一、对坐标的曲线积分的概念及性质 245

二、对坐标的曲线积分的计算 247

习题9-4 250

第五节　格林（Green）公式及其应用 250

一、格林（Green）公式 250

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 252

习题9-5 253

第十章　无穷级数 255

第一节　数项级数 255

一、数项级数的概念 255

二、数项级数的性质 257

习题10-1 259

第二节　数项级数的审敛法 260

一、正项级数及其审敛法 260

二、交错级数及其审敛法 263

三、任意项级数及其审敛法 263

习题10-2 264

第三节　幂级数 265

一、函数项级数的概念 265

二、幂级数及其收敛性 266

三、幂级数的运算 270

习题10-3 271

第四节　函数展开成幂级数 272

一、泰勒（Taylor）级数 272

二、函数展开成幂级数 273

三、函数幂级数展开式的应用 276

习题10-4 279

第五节 傅里叶级数 280

一、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 280

二、以2l为周期的函数展开成傅里叶级数 285

习题10-5 286

附录　习题参考答案 288