微分流形及其应用

第一章 多元映射的微分学 1

§1．1 多元映射的微分 1

§1．2 方向导数及微分的矩阵表示 6

§1．3 高阶微分与Taylor公式 10

§1．4 逆映射定理和隐函数定理 16

§1．5 秩定理 21

§1．6 单位分解 27

习题 29

§2．1 微分流形的定义 33

第二章 微分流形与可微映射 33

§2．2 可微函数与可微映射 39

§2．3 映射的秩 42

§2．4 子流形与流形的嵌入 44

§2．5 李群及其在流形上的作用 51

习题 57

第三章 张量 59

§3．1 流形上一点处的切空间 59

§3．2 映射的微分、余切空间 62

§3．3 张量 67

§3．4 纤维丛 74

§3．5 流形上的向量场 81

§3．6 张量场的变换 96

§3．7 李群上的左不变向量场，李代数 105

§3．8 Riemann流形初步 109

习题 112

第四章 外微分形式与Frobenius理论 114

§4．1 对称张量与反对称张量 114

§4．2 外形式与外代数 118

§4．3 外微分形式的外微分 124

§4．4 内积、李导数与外微分的关系 135

§4．5 Poincarè引理之逆 139

§4．6 Pfaff方程的可积条件 144

§4．7 分布的Frobeius条件 147

§4．8 余分布的对偶定理 153

§4．9 辛流形与Hamilton系统 157

习题 166

第五章 流形上的积分 168

§5．1 流形的定向 168

§5．2 流形上的积分 175

§5．3 Stokes定理 178

§5．4 经典的Green,Gauss和Stokes公式 184

习题 187

第六章 临界点理论及应用 190

§6．1 临界点与临界值 190

§6．2 Sard定理 191

§6．3 横截性 197

§6．4 Morse引理及其应用 202

§6．5 Morse不等式 212

§6．6 应用举例 218

习题 221

第七章 微分动力系统 222

§7．1 动力系统的基本概念 222

§7．2 流与微分同胚 224

§7．3 向量场与微分同胚的相图 226

§7．4向量场的等价与共轭 227

§7．5极限集与Poincare-Bendixson定理 229

§7．6 向量场与微分同胚的局部性质 232

§7．7 结构稳定性与分支简介 240

§7．8 环面上的动力系统 242

习题 246

第八章 经济均衡理论的大范围分桥 248

§8．1 经济均衡的存在性 248

§8．2 纯交换经济中均衡的存在性 253

§8．3 Pareto最优性条件 258

§8．4 福利经济的基本定理 262

§8．5 均衡的有限性和稳定性 268

§8．6 有生产的经济均衡问题 269

第九章 非线性统计模型的几何方法 274

§9．1 预备知识 274

§9．1 非线性统计模型的提出 275

§9．2 参数分布族的几何 276

§9．3 指数分布族的几何 280

§9．4 曲指数族的几何 284

§9．5 一般非线性模型的非线性强度的Bates和Watts曲率度量 292

附录I 单纯同调论 299

附录II Riemann几何初步 304

§1 Riemann度量及相关几何量 304

§2 仿射联络与Riemann联络 305

参考文献 308