高等数学基础 上

第一章 函数 1

一 函数的概念、性质与运算 2

1.1 常量与变量 2

1.2 函数的概念 4

1.3 函数的表示法 7

1.4 函数的基本性质 11

1.5 函数的运算 17

二 初等函数 28

1.6 基本初等函数 29

1.7 初等函数 36

三 函数模型及其应用 37

1.8 函数模型的建立及其应用 37

1.9 数学建模初步 41

阅读与思考SARS传播的数学模型 49

第二章 极限与连续 53

一 数列的极限 54

2.1 数列极限的描述性定义 54

2.2 数列极限的精确定义 58

2.3 数列极限的运算性质 65

二 数项级数 74

2.4 数项级数的基本概念 75

2.5 数项级数的简单应用 79

三 函数的极限 82

2.6 自变量趋于无限时的函数极限 82

2.7 自变量趋于有限值时函数的极限 89

2.8 函数极限的运算性质 94

2.9 两个重要的极限 97

2.10 关于刘徽割圆术问题 104

四 无穷小量与无穷大量 108

2.11 无穷小量 109

2.12 无穷大量 110

2.13 无穷小量的比较 112

五 连续函数 116

2.14 函数在x=x0处连续 116

2.15 函数的间断点 119

2.16 连续函数 120

2.17 闭区间上的连续函数 122

探究与发现 重复用药的体内药物含量问题 127

第三章 导数与微分 131

一 导数的概念 132

3.1 平均速度和瞬时速度 132

3.2 平均变化率和导数 134

3.3 导数的几何意义 136

3.4 函数的可导性与连续性的关系 139

3.5 导函数 140

3.6 几个基本初等函数的导数 141

二 求导法则 146

3.7 函数的和、差、积、商的导数 146

3.8 复合函数的导数 150

3.9 反函数的导数 153

3.10 隐函数的导数 157

3.11 参数方程的导数 160

3.12 高阶导数 162

三 微分 167

3.13 微分的概念及其几何意义 167

3.14 微分的运算 172

探究与发现 多项式函数切线的直接求法 176

第四章 中值定理与导数的应用 179

一 中值定理 180

4.1 罗尔中值定理 180

4.2 拉格朗日中值定理 183

4.3 柯西中值定理 186

4.4 洛必达法则 187

二 一阶导数的应用 191

4.5 函数的单调性 191

4.6 函数的极值和最值 194

三 二阶导数的应用 202

4.7 函数的凹凸性和拐点 202

4.8 极值点的二阶导数判定法 205

4.9 函数作图 208

四 泰勒公式 212

4.10 带佩亚诺余项的泰勒公式 212

4.11 带拉格朗日余项的泰勒公式 216

阅读与思考 平均成本最小化 219

探究与发现 锥体的最值问题 223

第五章 不定积分 226

一 不定积分的概念和性质 227

5.1 原函数与不定积分 227

5.2 不定积分的性质 231

5.3 基本积分公式 234

二 不定积分的计算 237

5.4 直接积分法 237

5.5 凑微分法 238

5.6 换元积分法 242

5.7 分部积分法 244

5.8 有理函数部分分式积分法 246

三 简单的微分方程 251

5.9 微分方程的基本概念 251

5.10 一阶微分方程 254

阅读与思考 饮食模型 267

探究与发现 人体的药物含量模型 270

第六章 定积分 273

一 定积分的概念与计算 274

6.1 定积分的概念与性质 274

6.2 微积分基本公式 284

二 定积分的应用和近似计算 290

6.3 定积分在几何上的应用 290

6.4 定积分的近似计算 298

三 反常积分 307

6.5 无限区间上的反常积分 307

6.6 无界函数的反常积分 310

阅读与思考 心输出量的测定 313

探究与发现 辛普森公式对三次函数精确吗 315

参考文献 319