工科数学分析基础 下 第3版

第五章 多元函数微分学及其应用 1

第一节 n维Euclid空间Rn中点集的初步知识 1

1.1n维Euclid空间Rn 1

1.2R中点列的极限 3

1.3R中的开集与闭集 4

1.4Rn中的紧集与区域 9

习题5.1 10

第二节 多元函数的极限与连续性 10

2.1多元函数的概念 10

2.2多元函数的极限与连续性 15

2.3有界闭区域上多元连续函数的性质 19

习题5.2 20

第三节 多元数量值函数的导数与微分 22

3.1偏导数 22

3.2全微分 27

3.3方向导数与梯度 35

3.4高阶偏导数和高阶全微分 43

3.5多元复合函数的偏导数和全微分 45

3.6由一个方程确定的隐函数的微分法 52

习题5.3 55

第四节 多元函数的Taylor公式与极值问题 59

4.1多元函数的Taylor公式 60

4.2无约束极值、最大值与最小值 63

4.3有约束极值，Lagrange乘数法 72

习题5.4 77

第五节 多元向量值函数的导数与微分 78

5.1一元向量值函数的导数与微分 79

5.2二元向量值函数的导数与微分 82

5.3微分运算法则 87

5.4由方程组所确定的隐函数的微分法 91

习题5.5 95

第六节 多元函数微分学在几何上的简单应用 97

6.1空间曲线的切线与法平面 97

6.2弧长 102

6.3曲面的切平面与法线 106

习题5.6 114

第七节 空间曲线的曲率与挠率 116

7.1Frenet标架 116

7.2曲率 120

7.3挠率 127

习题5.7 129

第5章习题 130

综合练习题 133

第六章 多元函数积分学及其应用 134

第一节 多元数量值函数积分的概念与性质 134

1.1物体质量的计算 134

1.2多元数量值函数积分的概念 136

1.3积分存在的条件和性质 139

习题6.1 140

第二节 二重积分的计算 141

2.1二重积分的几何意义 141

2.2直角坐标系下二重积分的计算法 142

2.3极坐标系下二重积分的计算法 149

2.4曲线坐标下二重积分的计算法 153

习题6.2 159

第三节 三重积分的计算 162

3.1化三重积分为单积分与二重积分的累次积分 162

3.2柱面与球面坐标下三重积分的计算法 166

习题6.3 175

第四节 含参变量的积分与反常重积分 177

4.1含参变量的积分 178

4.2反常重积分 182

习题6.4 186

第五节 重积分的应用 187

5.1重积分的微元法 187

5.2应用举例 191

习题6.5 194

第六节 第一型线积分与面积分 195

6.1第一型线积分 195

6.2第一型面积分 199

习题6.6 205

第七节 第二型线积分与面积分 208

7.1场的概念 208

7.2第二型线积分 210

7.3第二型面积分 216

习题6.7 224

第八节 各种积分的联系及其在场论中的应用 227

8.1Green公式 227

8.2平面线积分与路径无关的条件 232

8.3Gauss公式与散度 240

8.4Stokes公式与旋度 247

8.5几种重要的特殊向量场 254

习题6.8 260

第6章习题 264

综合练习题 267

第七章 无穷级数 269

第一节 常数项级数 269

1.1常数项级数的概念、性质与收敛原理 269

1.2正项级数的审敛准则 274

1.3变号级数的审敛准则 280

习题7.1 285

第二节 函数项级数 289

2.1函数项级数的处处收敛性 289

2.2函数项级数的一致收敛性概念与判别方法 291

2.3一致收敛级数的性质 294

习题7.2 297

第三节 幂级数 298

3.1幂级数及其收敛半径 298

3.2幂级数的运算性质 303

3.3函数展开成幂级数 306

3.4幂级数的应用举例 312

习题7.3 315

第四节 Fourier级数 318

4.1周期函数与三角级数 318

4.2三角函数系的正交性与Fourier级数 319

4.3周期函数的Fourier展开 321

4.4定义在[0，l]上函数的Fourier展开 327

4.5Fourier级数的复数形式 328

习题7.4 332

第7章习题 334

综合练习题 337

附录 部分曲面和空间立体的图形 338

部分习题答案与提示 347

二维码清单 367

参考文献 371