数学分析 2

第6章 不定积分 1

6.1 不定积分的概念和基本积分公式 2

一、不定积分的定义 2

二、不定积分的性质 4

三、不定积分的简单计算 6

习题6.1 11

6.2 不定积分的计算之一——换元积分法 11

习题6.2 21

6.3 不定积分计算之二——分部积分法 21

习题6.3 29

6.4 不定积分的计算之三——有理函数的不定积分 30

一、有理函数的不定积分 30

二、三角函数有理式的积分 34

三、可化为有理函数的无理根式的不定积分 37

习题6.4 41

第7章 定积分 42

7.1 定积分的定义 45

习题7.1 49

7.2 定积分存在的条件 50

习题7.2 57

7.3 可积函数类 57

习题7.3 61

7.4 定积分性质 62

习题7.4 70

7.5 定积分的计算与应用 70

一、定积分计算的基本公式 71

二、定积分计算的基本方法 72

三、基于特殊结构的定积分的计算 73

四、定积分应用综合举例 76

习题7.5 82

第8章 定积分的应用 84

8.1 平面图形的面积 84

习题8.1 88

8.2 平面曲线段的弧长 88

习题8.2 93

8.3 体积的计算 93

一、已知截面积的几何体的体积 93

二、旋转体的体积 94

习题8.3 96

8.4 旋转体的侧面积 96

习题8.4 98

8.5 定积分在物理中的应用 98

习题8.5 99

第9章 广义积分 100

9.1 无穷限广义积分 102

一、定义 103

二、收敛的广义积分的性质 105

习题9.1 106

9.2 无穷限广义积分判别法则 106

一、一般法则——Cauchy收敛准则 106

二、非负函数广义积分的判别法则 108

三、一般函数广义积分敛散性的判别法 112

四、常义积分与广义积分的区别 116

习题9.2 117

9.3 无界函数的广义积分 118

一、定义 118

二、敛散性的判别法 120

三、两类广义积分的关系 121

四、应用举例 122

习题9.3 125

第10章 数项级数 126

10.1 聚点和上（下）极限 126

一、定义 126

二、性质 127

习题10.1 132

10.2 数项级数的基本概念 132

一、基本概念 132

二、收敛级数的性质 134

习题10.2 139

10.3 正项级数 139

一、定义和基本定理 140

二、正项级数收敛性的判别法则 140

三、广义积分与数项级数 154

习题10.3 158

10.4 任意项级数 159

一、交错级数 160

二、通项为因子乘积的任意项级数 162

习题10.4 166

10.5 绝对收敛和条件收敛 166

一、绝对收敛和条件收敛 166

二、绝对收敛和条件收敛级数的性质 168

三、级数的乘积 174

习题10.5 175

10.6 无穷乘积 175

一、基本概念 175

二、收敛的无穷乘积的必要条件 176

三、收敛性的判断 177

习题10.6 179

第11章 函数项级数 180

11.1 函数项级数及其一致收敛性 180

一、定义 180

二、一致收敛性 183

三、一致收敛的判别法则 187

四、一致收敛的必要条件及非一致收敛性 191

习题11.1 194

11.2 和函数的性质 195

一、分析性质 195

二、应用 198

习题11.2 200

11.3 幂级数 201

一、定义 201

二、收敛性质 201

三、幂级数的性质 207

习题11.3 211

11.4 函数的幂级数 212

习题11.4 219

第12章 Fourier级数 220

12.1 Fourier级数 220

一、定义 220

二、Fourier级数收敛的必要条件 221

习题12.1 233

12.2 函数的Fourier级数展开 233

一、以2π为周期的函数的展开 234

二、以2l为周期的函数的展开 235

三、正弦级数和余弦级数的展开 236

四、半个周期上的函数的展开 237

习题12.2 240

12.3 Fourier级数的性质 241

一、运算性质及分析性质 241

二、Fourier级数的系数特征和Bessel不等式 243

三、Fourier级数的一致收敛性及Parseval等式 245

习题12.3 247