高等数学 上

第一章 函数、极限与连续 1

第一节 函数 1

一、区间与邻域 1

二、函数的概念 2

三、有关函数特性的一些概念 5

四、反函数及其图形 7

五、初等函数 8

六、双曲函数与反双曲函数 12

第二节 极限 17

一、数列极限 17

二、函数极限 22

第三节 无穷小与无穷大 29

一、无穷小 29

二、无穷大 31

第四节 极限的运算法则与两个重要极限 33

一、极限运算法则 33

二、极限的存在准则与两个重要极限 37

第五节 无穷小的比较 44

第六节 函数的连续性 47

一、函数连续性的概念 47

二、函数的间断点 49

三、连续函数的运算与初等函数的连续性 52

四、闭区间上连续函数的性质 55

总习题一 59

第二章 导数与微分 61

第一节 导数的概念 61

一、导数的定义 61

二、导数的几何意义 65

三、可导与连续的关系 68

第二节 导数的运算法则 70

一、求导的四则运算法则 70

二、复合函数求导法则 73

三、反函数求导法则 76

四、初等函数的求导法则 78

第三节 高阶导数 82

第四节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数相关变化率 87

一、隐函数的导数 87

二、由参数方程所确定的函数的导数 90

三、相关变化率 92

第五节 微分及其应用 94

一、函数的微分 94

二、微分在近似计算中的应用 100

总习题二 104

第三章 中值定理与导数的应用 106

第一节 中值定理 106

一、罗尔定理 106

二、拉格朗日中值定理 108

三、柯西中值定理 111

第二节 洛必达法则 113

第三节 泰勒公式 121

第四节 函数单调性及其判定法 126

第五节 函数的极值与最值 131

一、函数的极值 131

二、最大值与最小值 135

第六节 曲线的凹凸性与拐点、函数作图 140

一、曲线的凹凸性与拐点 140

二、函数作图 143

第七节 曲率 148

一、弧微分 148

二、曲率及其计算公式 149

三、曲率圆与曲率半径 153

总习题三 154

第四章 不定积分 157

第一节 原函数与不定积分的概念 157

一、原函数 157

二、不定积分 158

三、不定积分的几何意义 158

四、不定积分的性质 159

五、基本积分公式 160

第二节 换元积分法 162

一、第一类换元法（凑微分法） 163

二、第二类换元法 169

第三节 分部积分法 174

第四节 几类常见函数的积分 180

一、有理函数的积分 180

二、三角有理式的积分 185

三、简单无理函数的积分 187

第五节 积分表的使用 191

总习题四 193

第五章 定积分及其应用 195

第一节 定积分的概念和性质 195

一、定积分的两个例子 195

二、定积分的定义 197

三、定积分的几何意义和物理意义 199

四、定积分的性质 200

第二节 微积分学基本定理 205

一、积分上限函数及其性质 205

二、微积分学的基本定理 208

第三节 定积分的积分法 213

一、定积分的换元法 213

二、定积分的分部积分法 218

第四节 广义积分 222

一、无穷限积分 222

二、瑕积分 224

第五节 定积分的应用 227

一、元素法 227

二、定积分的几何应用 228

三、定积分的物理应用 239

总习题五 243

第六章 空间解析几何 245

第一节 空间直角坐标与向量代数 245

一、空间直角坐标系 245

二、向量及其线性运算 247

第二节 向量的坐标 251

一、向量在轴上的投影 252

二、向量的坐标 253

三、向量运算的坐标表示式 254

四、向量的模与方向的坐标表示式 256

第三节 向量的乘法 258

一、向量的数量积 258

二、向量的向量积 261

三、向量的混合积与二重向量积 263

第四节 平面及其方程 265

一、平面方程的三种形式 265

二、两平面的相互关系 270

三、点到平面的距离公式 271

第五节 直线及其方程 273

一、直线方程的三种形式 273

二、两条直线的相互关系 275

三、直线与平面的相互关系 276

四、平面束的方程 277

第六节 空间曲面与空间曲线 282

一、曲面及其方程 282

二、二次曲面 287

三、曲线及其方程 289

总习题六 294

附录Ⅰ 预备知识、常用曲线与曲面 296

附录Ⅰ-1 预备知识 296

附录Ⅰ-2 几种常用的曲线 299

附录Ⅰ-3 几种常用的曲面 302

附录Ⅱ 积分表 305

附录Ⅲ 二阶和三阶行列式简介 316