一维有限单元法

第1章 绪论 1

1.1 有限单元法的发展史 1

1.2 有限元软件的发展史 3

1.3 本书的写作目的 6

1.4 关于学习本书的建议 6

第2章 直接刚度法 8

2.1 一维杆单元 9

2.2 结构平衡方程的组装 11

2.3 边界条件施加与方程求解 15

2.4 二维杆单元 17

2.5 三维杆单元 19

第3章 一维杆的“强”形式与“弱”形式 21

3.1 一维杆的微分方程“强”形式 21

3.2 一维杆的积分方程“弱”形式 24

3.3 近似函数的连续性 25

3.4 “强”“弱”形式的等价性 26

3.5 算例 27

第4章 单元和插值函数的构造 30

4.1 近似函数的插值 30

4.2 2节点线性单元 31

4.3 3节点2次单元 33

4.4 直接构造形函数 34

4.4.1 总体坐标内的插值函数 34

4.4.2 自然坐标内的插值函数 35

第5章 加权余量法与虚功原理建立有限元格式 37

5.1 伽辽金加权余量法建立有限元格式 37

5.2 虚位移原理建立有限元格式 40

5.2.1 一维杆弹性力学基本方程 40

5.2.2 衡方程的等效积分“弱”形式——虚位移原理 41

5.2.3 虚位移原理推导平衡方程和面力边界条件 42

第6章 变分原理建立有限元格式 45

6.1 最小势能原理 45

6.2 最小势能原理推导杆单元平衡方程和面力边界条件 48

6.3 H-W变分原理 50

6.4 H-R变分原理 52

6.5 加权余量法与能量解法的源流关系 53

第7章 线性静态有限元分析 55

7.1 数值积分方法 55

7.2 单元刚度矩阵与载荷列阵的解析积分和数值积分 56

7.3 等参数单元 62

7.3.1 等参变换 62

7.3.2 等参变换与换元积分的关系 66

7.4 组装总体刚度矩阵与载荷列阵 67

7.5 矩阵压缩存储 70

7.6 优化结构的最小半带宽 72

7.6.1 基本概念 73

7.6.2 节点编号步骤 73

7.7 引入位移边界条件 75

7.8 求解线性方程组 77

7.9 杆单元节点位移、轴力、轴向应变、结构约束反力的求解 79

7.10 算例 80

7.10.1 2杆桁架解析算例 80

7.10.2 10杆桁架数值算例 81

第8章 线性动态有限元分析 82

8.1 基本方程 82

8.1.1 弹性动力学的基本方程 82

8.1.2 杆件离散化 83

8.1.3 有限元格式 84

8.2 质量矩阵 85

8.2.1 协调质量矩阵 85

8.2.2 集中质量矩阵 86

8.3 直接积分法 86

8.3.1 中心差分法 87

8.3.2 Wilson-θ方法 89

8.3.3 Newmark方法 90

8.3.4 数值算例 92

8.4 振型叠加法 94

8.4.1 求解固有频率和固有振型 95

8.4.2 求解模态坐标下的动力响应 97

8.4.3 2杆桁架模态分析的解析算例 98

8.5 大型特征值问题的解法 101

8.5.1 子空间迭代法 101

8.5.2 化广义特征值问题为标准特征值问题 102

8.5.3 Jacobi旋转法求解标准特征值问题 103

8.5.4 自由模态问题的移频 105

8.5.5 子空间迭代法的数值算例 106

第9章 几何非线性有限元分析 112

9.1 应变与应力的度量 112

9.2 完全拉格朗日格式 116

9.2.1 最小势能原理推导平衡方程 120

9.2.2 切线刚度矩阵 121

9.3 非线性方程组的解法 122

9.4 解析算例 124

9.4.1 求解单元切线刚度矩阵 125

9.4.2 组装切线刚度矩阵 126

9.4.3 求解内部力并组装 126

9.4.4 求解平衡方程 127

9.5 数值算例 129

9.5.1 2杆桁架结构 129

9.5.2 19杆桁架结构 138

第10章 材料非线性有限元分析 140

10.1 各向同性强化模型与随动强化模型 141

10.2 单向应力状态的弹塑性本构方程 142

10.2.1 屈服准则 142

10.2.2 强化法则 143

10.2.3 流动法则 143

10.2.4 一致性准则 143

10.3 弹塑性状态的决定 144

10.4 弹塑性分析的增量有限元格式 146

10.5 弹塑性有限元分析的基本流程 148

10.6 几种常见的等向强化模型 149

10.6.1 线性强化模型 149

10.6.2 二次强化模型 150

10.6.3 指数强化模型 150

10.6.4 Ramberg-Osgood强化模型 151

10.7 算例 151

10.7.1 3杆桁架解析算例 151

10.7.2 3杆桁架数值算例 154

10.7.3 10杆桁架循环加载算例 164

10.7.4 桁架桥梁结构算例 167

第11章 复合材料多尺度分析 170

11.1 摄动法 171

11.2 均匀化方法 173

11.3 算例 177

第12章 结构灵敏度分析 180

12.1 静态位移灵敏度分析 181

12.1.1 差分法 181

12.1.2 解析法 182

12.1.3 伴随变量法 182

12.1.4 半解析法 183

12.1.5 复数法 183

12.1.6 算例 184

12.1.7 各种算法的综合比较 184

12.2 应力灵敏度分析 185

12.3 模态灵敏度分析 186

12.4 应变能灵敏度分析 187

12.5 单元层次灵敏度分析 188

12.5.1 尺寸变量灵敏度分析 188

12.5.2 形状变量灵敏度分析 189

12.5.3 材料拓扑灵敏度分析 191

12.6 灵敏度分析算例 192

12.6.1 静态位移灵敏度分析 192

12.6.2 频率灵敏度分析 195

第13章 桁架结构有限元教学软件EFESTS 197

13.1 软件介绍 197

13.2 前处理 197

13.3 求解器 200

13.3.1 线性静态分析 201

13.3.2 几何非线性静态分析 202

13.3.3 材料非线性静态分析 203

13.3.4 模态分析 205

13.3.5 动力响应分析 206

13.4 位移灵敏度分析 208

13.4.1 解析法 208

13.4.2 伴随变量法 209

13.5 应力灵敏度分析 210

13.6 模态灵敏度分析 211

参考文献 212

附录1 算例数据 215

附录2 桁架结构有限元分析Matlab代码与实例 220