高等数学 上

第1章 函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1 区间和邻域 1

1.1.2 函数的概念 2

1.1.3 函数的几种特性 3

1.1.4 反函数与复合函数 4

1.1.5 初等函数 6

习题1.1 10

1.2 数列的极限 12

1.2.1 数列极限的定义 12

1.2.2 收敛数列的性质 14

习题1.2 17

1.3 函数的极限 17

1.3.1 函数极限的概念 17

1.3.2 函数极限的性质 21

习题1.3 22

1.4 无穷小量与无穷大量 23

1.4.1 无穷小量 23

1.4.2 无穷大量 24

习题1.4 25

1.5 极限的运算法则 27

1.5.1 极限的四则运算法则 27

1.5.2 复合函数的极限运算法则 30

习题1.5 31

1.6 极限存在准则与两个重要极限 32

1.6.1 准则Ⅰ与第一个重要极限 32

1.6.2 准则Ⅱ与第二个重要极限 35

习题1.6 38

1.7 无穷小阶的比较 39

习题1.7 41

1.8 函数的连续性 42

1.8.1 函数的连续性 42

1.8.2 函数间断点的分类 44

1.8.3 初等函数的连续性 47

习题1.8 49

1.9 闭区间上连续函数的性质 50

1.9.1 有界性与最值定理 50

1.9.2 零点定理与介值定理 51

习题1.9 52

本章总结 52

第2章 导数与微分 54

2.1 导数的概念 54

2.1.1 导数产生的背景 54

2.1.2 导数的定义 56

2.1.3 导数的几何意义 60

2.1.4 函数可导性与连续性的关系 61

习题2.1 62

2.2 求导法则与基本初等函数导数公式 63

2.2.1 导数的四则运算法则 63

2.2.2 反函数的求导法则 65

2.2.3 复合函数的求导法则 66

2.2.4 基本初等函数导数公式 67

习题2.2 69

2.3 高阶导数 69

2.3.1 高阶导数的概念 69

2.3.2 高阶导数的计算 70

习题2.3 72

2.4 隐函数与参数方程确定的函数的求导法则 73

2.4.1 隐函数的导数 73

2.4.2 由参数方程确定的函数的导数 75

习题2.4 77

2.5 函数的微分及其应用 78

2.5.1 微分的定义 78

2.5.2 微分的几何意义 80

2.5.3 基本初等函数的微分与函数微分的运算法则 81

2.5.4 微分的应用 83

习题2.5 86

本章总结 86

第3章 微分中值定理与导数的应用 88

3.1 微分中值定理 88

3.1.1 罗尔中值定理 88

3.1.2 拉格朗日中值定理 90

3.1.3 柯西中值定理 92

习题3.1 93

3.2 洛必达法则 94

3.2.1 0/0与∞/∞型未定式 94

3.2.2 可化为0/0型或∞/∞型的未定式 97

习题3.2 98

3.3 泰勒公式 98

习题3.3 103

3.4 函数的单调性与凹凸性 104

3.4.1 函数单调性的判别法 104

3.4.2 函数的凹凸性与拐点 107

习题3.4 111

3.5 函数的极值与最值 112

3.5.1 函数极值及求法 112

3.5.2 函数的最大值与最小值 115

习题3.5 116

3.6 函数图形的描绘 117

3.6.1 曲线的渐近线 117

3.6.2 函数图形的描绘 119

习题3.6 121

3.7 曲率 121

3.7.1 弧微分 122

3.7.2 曲率的概念及计算公式 123

3.7.3 曲率圆与曲率半径 125

习题3.7 126

本章总结 126

第4章 不定积分 128

4.1 不定积分的概念与性质 128

4.1.1 原函数与不定积分的概念 128

4.1.2 不定积分的几何意义 130

4.1.3 不定积分的基本性质 131

4.1.4 基本积分公式 131

习题4.1 134

4.2 换元积分法 135

4.2.1 第一类换元法 135

4.2.2 第二类换元法 140

习题4.2 142

4.3 分部积分法 144

习题4.3 148

4.4 几种特殊类型函数的积分 148

4.4.1 有理函数的积分 148

4.4.2 三角函数有理式的积分 150

习题4.4 151

本章总结 152

第5章 常微分方程 153

5.1 常微分方程的基本概念 153

5.1.1 引例 153

5.1.2 基本概念 155

习题5.1 157

5.2 一阶微分方程 158

5.2.1 可分离变量微分方程 158

5.2.2 齐次型微分方程 161

5.2.3 一阶线性微分方程 163

5.2.4 伯努利方程 166

习题5.2 167

5.3 可降阶的微分方程 169

5.3.1 y″＝f（x）型 170

5.3.2 y″＝f（x，y′）型 170

5.3.3 y″＝f（y，y′）型 171

习题5.3 173

5.4 二阶线性微分方程解的结构 173

5.4.1 二阶齐次线性微分方程解的结构 173

5.4.2 二阶非齐次线性微分方程解的结构 175

习题5.4 176

5.5 二阶常系数线性微分方程 176

5.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法 177

5.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法 179

习题5.5 184

5.6 微分方程的应用举例 184

习题5.6 190

本章总结 191

第6章 定积分 193

6.1 定积分的概念与性质 193

6.1.1 定积分问题举例 193

6.1.2 定积分的定义 195

6.1.3 定积分的性质 198

习题6.1 202

6.2 微积分基本公式 202

6.2.1 引例 203

6.2.2 积分上限函数及其导数 203

6.2.3 牛顿—莱布尼茨公式 205

习题6.2 207

6.3 定积分的换元积分法和分部积分法 208

6.3.1 换元积分法 208

6.3.2 分部积分法 212

习题6.3 214

6.4 反常积分 216

6.4.1 无穷限的反常积分 216

6.4.2 无界函数的反常积分 219

习题6.4 222

本章总结 222

第7章 定积分的应用 224

7.1 定积分的微元法 224

7.2 定积分的几何应用 224

7.2.1 平面图形的面积 225

7.2.2 立体的体积 228

7.2.3 平面曲线的弧长 232

习题7.2 235

7.3 定积分在物理学上的应用 235

7.3.1 变力沿直线所做的功 235

7.3.2 水压力 237

7.3.3 引力 237

习题7.3 238

7.4 定积分在经济分析中的应用 239

习题7.4 240

本章小结 241

期末测试A 243

期末测试B 247

习题答案 250