高等教育数学课程改革创新系列教材 线性代数

第1章 行列式 1

1.1 二阶、三阶行列式的概念 1

1.1.1 二元线性方程组与二阶行列式 1

1.1.2 三阶行列式 2

习题1.1 5

1.2 n阶排列及对换 5

1.2.1 n阶排列及其逆序数 5

1.2.2 对换 7

习题1.2 8

1.3 n阶行列式的概念 8

习题1.3 12

1.4 n阶行列式的性质 12

习题1.4 21

1.5 行列式的展开定理 22

习题1.5 29

1.6 克拉默定理 31

习题1.6 36

第2章 矩阵 38

2.1 矩阵的概念 38

2.1.1 引例 38

2.1.2 矩阵的概念 39

2.1.3 常用的矩阵 40

2.2 矩阵的运算 42

2.2.1 矩阵的加法 42

2.2.2 数与矩阵的乘法 43

2.2.3 矩阵与矩阵的乘法 44

2.2.4 矩阵的转置 49

2.2.5 方阵的行列式 51

2.2.6 方阵的多项式 52

习题2.2 53

2.3 可逆矩阵 55

2.3.1 逆矩阵的概念 55

2.3.2 矩阵可逆的充要条件 57

2.3.3 可逆矩阵的性质 58

习题2.3 62

2.4 分块矩阵 64

2.4.1 分块矩阵的概念 64

2.4.2 分块矩阵的运算 65

2.4.3 分块对角矩阵 68

习题2.4 71

第3章 矩阵的初等变换与线性方程组 73

3.1 矩阵的初等变换与初等方阵 73

3.1.1 线性方程组与矩阵 73

3.1.2 矩阵的初等变换与初等矩阵 76

3.1.3 矩阵的等价 79

3.1.4 初等变换的应用 82

习题3.1 84

3.2 矩阵的秩 85

3.2.1 矩阵的秩的定义 85

3.2.2 利用初等变换求矩阵的秩 87

3.2.3 矩阵的秩的性质 88

习题3.2 90

3.3 线性方程组 91

3.3.1 引例 91

3.3.2 非齐次线性方程组有解判别定理 93

3.3.3 齐次线性方程组有解判别定理 97

习题3.3 100

第4章 n维向量与线性方程组 102

4.1 n维向量概念及其线性组合 102

4.1.1 n维向量 102

4.1.2 向量的线性组合 103

4.1.3 向量组的等价 106

习题4.1 107

4.2 向量组的线性相关性 108

习题4.2 111

4.3 向量组的秩 111

4.3.1 向量组的极大线性无关组 112

4.3.2 向量组的秩 112

4.3.3 向量组的秩与极大无关组的求法 113

习题4.3 116

4.4 线性方程组的解的结构 117

4.4.1 齐次线性方程组的解 117

4.4.2 非齐次线性方程组的解 120

习题4.4 123

4.5 向量空间 124

4.5.1 向量空间的概念 124

4.5.2 生成子空间 124

4.5.3 基、维数及坐标 125

习题4.5 127

第5章 特征值与特征向量 矩阵的对角化 128

5.1 向量的内积、长度及正交性 128

5.1.1 向量内积及长度 128

5.1.2 向量的正交 129

5.1.3 向量组的正交化和单位化 130

5.1.4 正交矩阵 132

习题5.1 133

5.2 方阵的特征值与特征向量 134

5.2.1 特征值与特征向量的定义 134

5.2.2 特征值与特征向量的求法 135

5.2.3 特征值与特征向量的性质 137

习题5.2 139

5.3 相似矩阵与矩阵的对角化 140

5.3.1 相似矩阵的概念 140

5.3.2 相似矩阵的结论 140

5.3.3 矩阵相似于对角矩阵的条件 141

习题5.3 144

5.4 实对称矩阵的相似矩阵 145

习题5.4 149

第6章 二次型 150

6.1 二次型及其矩阵表示 矩阵合同 150

6.1.1 二次型及其矩阵表示 150

6.1.2 矩阵的合同 151

习题6.1 152

6.2 化二次型为标准形 153

6.2.1 二次型的标准形 153

6.2.2 正交代换法 153

6.2.3 配方法 154

习题6.2 156

6.3 惯性定理与正定二次型 157

6.3.1 惯性定理 157

6.3.2 正定二次型 158

习题6.3 160

附录A 习题答案 162