拉普拉斯变换与傅里叶变换

引言 1

目录 1

第一章 拉普拉斯变换 3

§1.1 拉普拉斯变换概念 3

（一）拉普拉斯变换的定义 3

（二）单位阶跃函数 8

（三）拉普拉斯变换的存在问题 13

（一）相似性 17

（二）导数的像函数 17

§1.2 拉普拉斯变换的性质 17

（三）像函数的导数 19

（四）积分的像函数 21

（五）像函数的积分 23

（六）时间迟缓定理 24

（七）复数位移定理 28

（八）周期函数的像函数 29

§ 1.3 解线性常微分方程 30

（一）解常系数线性常微分方程 30

（二）解变系数线性常微分方程举例 34

（三） 解常微分方程组举例 35

（四）有理分式分解的解析方法 37

§1.4 卷积定理初值与终值定理 43

（一）卷积的定义 43

（二）卷积性质 45

（三）卷积定理 46

（四）初值定理 51

（五）终值定理 51

1.5 拉普拉斯变换在其他方面的应用 53

（一）传递函数概念 53

（二）解偏微分方程举例 58

（三）解其他方程 63

§1.6 单位脉冲函数 69

（一）质量集中分布的无穷长细杆的线密度 69

（二）δ函数的定义 70

（三）δ函数的其他物理意义 73

（四）δ函数的性质 74

（五）δ′（t）的定义与其拉普拉斯变换 76

（六）应用举例 78

（七）关于拉普拉斯变换的积分下限 80

习题一 83

（一）简谐振动与简谐振动的叠加 90

第二章 傅里叶积分与傅里叶变换 90

§2.1 傅里叶级数概要 90

（二）周期函数的分解 92

（三）非周期函数的展开问题 93

§2.2 傅里叶积分公式 94

（一）傅里叶积分定理 94

（二） 函数的傅里叶积分展开式 97

（三） 单侧函数的傅里叶余弦积分展开式与正弦积分展开式 101

（一）傅里叶变换的定义 102

§2.3 傅里叶变换概念 102

（二）傅里叶积分公式的复数形式 107

（三）傅里叶变换的反演公式 108

（四）余弦变换与正弦变换 108

§ 2.4 傅里叶变换的性质 110

（一）线性性质 110

（二）对称性 110

（三）相似性 112

（四）时间迟缓定理 112

（五）像函数的平移 113

（七）像函数的导数 114

（六）导数的像函数 114

（八）积分的像函数 115

（九）卷积与卷积定理 116

（十）巴塞弗（Persevel）恒等式 119

§ 2.5 应用举例 121

§2.6 傅里叶变换概念的扩充 128

（一）n元函数的傅里叶变换 128

（二）衰减因子　傅里叶变换与拉普拉斯变换 129

§2.7 拉普拉斯变换的反演公式 131

（一）预备知识 131

（二）复反演公式 133

（三）用留数求像原函数 134

（四）像函数的极点分布与运动规律 138

〔附录〕约当引理的证明 140

习题二 142

附表 148

附表一 拉普拉斯变换法则公式 148

附表二 拉普拉斯变换简表 149

附表三 傅里叶变换法则公式 152

附表四 傅里叶变换简表 153

习题答案 155